Monoton funksiyalar

2.4-teorema (Fubini). segmentda
(10)
Qator berilgan bo‘lib, uning hadlari kamaymaydigan (o‘sib bormaydigan) funksiyalar bo‘lsin. U holda bu qatorni deyarli har bir nuqtada hadlab differensiallash mumkin, ya’ni deyarli har bir nuqtada:

Isbot. Teoremaning umumiyligini chegaralamasdan va hamma funksiyalarni kamaymaydigan deb faraz qilish mumkin. va lar deyarli har bir nuqtada mavjud, demak, da o‘lchovi fa teng bo‘lgan shunday to‘plam, mavjudki, buning har bir nuqtasida ham , ham lar mavjud. va ixtiyoriy uchun ushbu

munosabatni yozamiz. Chap tomondagi ifodaning hadlari manfiy bo‘lmagani sababli bundan ixtiyoriy natural uchun:

Bundan a limitga o‘tib.

tengsizlikni va ni ga ilintirib, larning manfiy emasligini hisobga olinsa,

tengsizlik kelib chiqadi.
Endi oxirgi (11) munosabatda deyarli har bir nuqtada tenglik o‘rinliligini ko‘rsatamiz. (10) munosabat o‘rinli bo‘lgani uchun shunday topiladiki, (10) xususiy yig’indisi uchun:

Ushbu

ayirma kamaymaydigan funksiya ekanligidan barcha uchun

bo‘ladi. Bundan

qatorning segmentning har bir nuqtasida yaqinlashuvchiligi (hatto tekis yaqinlasshuvchiligi) kelib chiqadi. U holda (11) munosabatni isbotlaganimiz kabi, ushbu

qatorning deyarli har bir nuqtada yaqinlashuvchanligini keltirib chiqaramiz. Bu qatorning umumiy hadi deyarli har bir nuqtada nolga intiladi, demak deyarli har bir nuqtada . Ikkinchi tomondan, agar (11) munosabatda < ishorasi turganda edi, hech qanday xususiy yig’indilar ga intila olmas edi. Shunday qilib, (11)da deyarli har bir nuqtada tenglik bo‘lishi kerak. Bizga esa shuni isbotlash kerak edi.