Monoton funksiyalar

Misollar. 1) funksiya nuqtada turli o‘ng va chap hosilalarga ega.
Haiqatan,

2)
funksiya uchun nuqtda:

chunki funksiyaning eng katta qiymati gat eng;

chunki funksiyaning eng kichik qiymati gat eng,
Xuddi shuningdek,


3)
bu yerda
nuqtada:

Haqiqatan,

chunki funksiyaning eng katta qiymati gat eng.

chunki funksiyaning eng kichik qiymati 0ga teng.
Xuddi shuningdek,


Bu misollar, haqiqatan ham, hosila sonlarning turli bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatadi.
2.1-teorema (Lebeg). segmentda aniqlangan ixtiyoriy monoton funksiya bu segmentning deyarli har bir nuqtasida chekli hosilaga ega.
Isbot. Avval teoremani segmentda uzliksiz monoton funksiyalar uchun isbot etib, so‘ngra shu segmentda uzluksiz bo‘lmagan monotn funksiyalar uchun o‘rinliligi ko‘rsatamiz. Bundan teoremaning ixtiyoriy segment uch isboti chiziqli almashtirish orqali kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyalarga oid quyidagi lemmani isbot qilamiz:
2.2-lemma (F.Riss). segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bo‘lsin. to‘plab segmentning shunday ichki nuqtalaridan iborat bo‘lsinki, bu nuqtalarning har biridan o‘ng

Munosabatni qanoatlantiradigan nuqta mavjud bo‘lsa, u holda ochiq to‘lam bo‘lib, uni tuzuvchi oraliklarining har birida tengsizlik bajariladi.
Lemmaning isboti. Darhaqiqat, ochiq to‘plam chunki va bo‘lsa, u holda ning uzluksizligiga muvofiq ning biron atrofidan olingan ni hamma qiymatlari uchun ham , tengsizliklar o‘rinligicha qoladi. Agar, masalan taminlavchi funksiya bo‘lsa, u holda bo‘sh to‘plam bo‘ladi.
Endi oraliq to‘plamni tuzuvchi oraliqlarni biri bo‘lsin. Bu tuzuvchi oraliqdan ixtiyoriy nuqta uchun tengsizlikning o‘rinliligini hosil qilamiz.
Darhaqiqat, nuqta va nuqtalar orasida bo‘ladi. (ya’ni ).

tengsizlikni qanaotalantiradigan va ga eng yaqin nuqta bo‘lsin. U holda tenglikning o‘rinliligini ko‘rsatamiz. Agar bunday bo‘lsa, ning ta’rifiga ko‘ra shunday nuqta mavjudki, uning uchun

tengsizlik o‘rinli; ikkinchi tomondan,
.
So‘ngi (2),(3) va (4) tengsizliklar ziddiyat hosil qiladi.
Demak, va yuqoridagi mulohazaga ko‘ra, ni lemma isbotlandi.