Множества N,Z,Q,R

Определение дифференцируемой (в точке) функции.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.
Ф-ция f(x), определённая в некоторой окрестности точки х0, называется дифференцируемой в точке х=х0, если её приращение в этой точке представимо в виде ∆f=f(x0+∆x) - f(x0) = k∆x+α(∆x)*∆x, где k-постоянная, а α(∆x) есть бесконечно малая (функция) при ∆х→0.
Ф-ция f(x), определённая в некоторой окрестности точки х0, называется дифференцируемой в точке х=х0, если её приращение в этой точке представимо в виде ∆f=f(x0+∆x) - f(x0) = k∆x+ о(∆x), где k-постоянная, а о(∆x) есть бесконечно малая (функция) в нуле, более высокого порядка, чем ∆х.

59. 
    Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
    

Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке х0, то в точке х0 существует производная f’(x0). Обратно, если в точке х0 существует производная f’(x0), то существует дифференциал df_x0, причём коэффициент k линейной функции df_x0=k∆x есть в точности производная f’(x0), k=f’(x0).
Док-во: Предположим, что функция f(x) дифференцируема в точке х0, т.е. существует линейная функция L(∆x)=k∆x, такая, что f(x0+∆x)-f(x0)=k∆x+α(∆)∆x. Тогда lim_∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)/∆x=lim_∆x→=[k+α(∆x)]=k, так как lim_∆x→0α(∆х)=0, по определению дифференцируемости. Итак, производная f’(x0) существует и равна k.
Предположим теперь, что существует производная f’(x0)= lim_∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)/∆x. Тогда по теореме о связи между функцией, пределом и бесконечно малой, f(x0+∆)-f(x0)/∆x=f’(x0)+α(∆x), если ∆х≠0, где lim_∆x→0α(∆х)=0, поэтому f(x0+∆x)-f(x0)=f’(x0)∆x+ α(∆x)*∆x. Последнее равенство остаётся верным и при ∆х=0, если положить α(0)=0, а это означает, что линейная функция L(∆x)=f’(x0)∆x удовлетворяет определению дифференцируемости функции ∆f=f(x0+∆x) - f(x0) = L(∆x)+α(∆x)*∆x.

60.