Множества N,Z,Q,R

Вычисление производных основных элементарных функций

1. 
   (x^a)’=ax^a-1
   

Обозначим y=x^a, затем прологарифмируем это равенство: lny=alnx, и продифференцируем полученное соотношение по х, рассматривая lny как сложную функцию от х:1\у*y’ = a*1\x. Отсюда получаем y’=ay*1\x = ax^a*1\x, т.е. (x^a)’=ax^a-1

2. 
   (a^x)’=a^xlna
   

Обозначим y=a^x, затем прологарифмируем это равенство: lny=xlna, и продифференцируем полученное соотношение по х, рассматривая ln y как сложную функцию от х: 1/у*у’ = ln a. Отсюда получаем y’=ylna=a^xln a, т.е. (а^х)’=a^xln a.

3. 
   (ln_ax)’=1\xln a
   

(ln_ax)’=1\xlna Получается из равенства ln_ax=lnx\lna

4. 
   (cosx)’=-sinx
   

Дифференцируем равенство cosx=sin(П\2-П): (cosx)’=cos(П\2-х)(-1)=-sinx.

5. 
   (tgx)’=1\cos²x
   

Дифференцируем частное tgx=sinx\cosx: (tgx)’=(sinx\cosx)’=(sinx)’cosx-sinx(cosx)’\cos²x = cos²x+sin²x\cos²x = 1\cos²x.

6. 
   (ctgx)’=-1\sin²x
   

Дифференцируем равенство ctgx=tg(П/2-х): (ctgx)’=1\cos²(П\2-х)*(-1)=-1/sin²x.

7. 
   (arcsinx)’ =1\√1-x²
   

По правилу дифференцирования обратной функции, (arcsinx)’=1\sin’(arcsinx)=1\cos(arcsinx)=1\√1-sin²(arcsinx)=1\√1-x².

8. 
   (arccosx)’=-1\√1-x²
   

Сразу следует из arccosx=П\2-arcsinx.

9. 
   (arctgx)’ = 1\1+x²
   

По правилу дифференцирования обратной функции, (arctgx)’=1\1\cos²(arctgx) = [(т.к.)1+tg²x=1\cos²x]=1\1+tg²(arctgx)=1\1+x².

10. 
    (arcctgx)’=-1\1+x²
    

Сразу следует из arcctgx=П\2 – arcctgx.

68.