Множества N,Z,Q,R

Логарифмическая производная.

(lny)’=1\y*y’

72. 
    Определение дифференциала и его связь с производной.
    

Дифференциал — линейная часть приращения функции или отображения. Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается d_xf.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.
Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

73. 
    Правила нахождения дифференциала.
    

Для вычисления дифференциала функции f(x) достаточно найти производную f’(x) и к полученному результату просто приписать df. Вычисление дифференциала происходит именно в точке х0, а не в произвольной точке х, то функциональную запись дифференциала обычно сокращают до df=f’(x)dx. Существует следующая формула для вычисления дифференциала: d(u+v)=du+dv; d(uv)=udx+vdu; d(u\v)=vdu=udv\v².

74. 
    Геометрический смысл дифференциала.
    

f’(x0)∆x – это приращение ординаты текущей точки касательной, соответствующее приращению аргумента ∆x. Приращение касательной есть длина отрезка, которая равна f’(x0)∆x.

75. 
    Инвариантность формы дифференциала.
    

Функциональная запись дифференциала df = f’(x)dx не зависит от того, является х независимой переменной или зависит от другой переменной, например, x=ф(t), где ф дифференцируемая функция.
Док-во: Если х=ф(t), где ф - дифференцируемая функция, то левая часть df равенства df=f’(x)dx после подстановки x=ф(t) принимает вид: df(ф(t))=(f(ф(t))ф’(t)dt. Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования сложной функции. С другой стороны, правая часть f’(x)dx равенства df=f’(x)dx после подстановки x(t)=ф(t) принимает вид: f’(x)dx=f’(ф(t))dф=f’(ф(t))ф’(t)dt, т.е. равенство df=f’(x)dx остаётся в силе и после подстановки x=ф(t). Теорема доказана.

76.