Mirzo Ulugʻbek nomidagi Oʻzbekiston Milliy universiteti

Volterraning ikkinchi tur tenglamasi To’g’ri to’rtburchaklar usulida taqribiy yechish.
Volterraning ikkinchi tur integral tenglamasi berilgan bo’lsin

u(
x)

f (
x)

 b

K (x, t)u(t)dt
(2.2.1)

a

[a,b] oraliqda n ta

nuqtani olamiz

a  x1 


x2

 ...  xn

 b

u(


x)

funksiyaga

yaqinlashuvshi qiymatlarni topib ulardan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bunday sistemani hosil qilish mumkin, agar tenglamalar tarkibiga kiruvchi integralni hisoblashga yaqin qoida topilsa. Integral x parametrga bog`liq.

	b	n
	K (x, t)u(t)dt  ck (x)u(xk )  p(x)			(2.2.2)
	a	k 1
bu ifodani	(2.2.1)	tenglamaga qo`yib x  x1 , x2 ,.....,xn uchun u(x) ning
qiymatlarini topamiz.
		n
	u(xi )  fi  ck (xi )u(xi )  p(xi )			(2.2.3)
		k 1

P(x) qoldiq had juda kichik qiymatga ega bo`lgani uchun uni tashlab yuborishimiz mumkin va

n
ui  ck (xi )uk  fi	(i=1,2,3,….,n)
k 1

ni hosil qilamiz .

Ko`p hollarda misollarni N-tugun nuqtalarinig uncha katta bo`lmagan qiymatlarida hisoblashga to`g`ri keladi. Shuning uchun natijalarni aniq hisoblashda aniqlik darajasi yuqori bo`lgan usullardan foydalanish maqsadga muvofiqdir.

43

Odatda Gauss yoki gauss Kristofel usullarining aniqlik darajasi yuqori bo`lgani uchun ko`pfoydalaniladi. Shuningdek to`g`ri to`rburchaklar va trapetsiya usullaridan foydalanish mumkin. Bu usullar oddiy formulalardan tuzilib , yaxshi samara beradi, lekin Gauss usuliga qaraganda tugun nuqtalar sonini ko`p bo`lishini talab qiladi.


To’g'ri to’rtburchaklar usuli yordamida integral tenglamani mathcadda yechish
Quyidagi tenglama berilgan bo’lsin u(x)  f (x)  ^b K (x,t)u(t)dx


a

u(x) funksiyani topish kerak bo’lsin. Bu yerda


f (


x)

va

K(x,t)

aniq funksiyalar.

Bunday masalalarni

yechish uchun sonli integrallashdagi kubatur formulalar

qo’llaniladi. Masalan to’g'ri to’rtburchaklar formulasidan foydalanish mumkin.

8. 
    ^b _N^{ a} x_i  a  ih i  0,....,N u_i  u(x_i )
   

u_i  f_i  K (x_i , x_k )u_k h
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
K (x_i , x₀ )u₀  K (x_i , x₁ )u₁ .... (K (x_i , x_i ) 1)u_i ... K (x_i , x_N )u_N   f_i


K (x_i , x₀ )u₀  K (x_i , x₁ )u₁ ... K (x_i , x_n )u_n  f_i

Chiziqli algebraik sistemalarni quyidagi ko’rinishga keltiramiz :

MU V

Bunda

M _{i, j}  K (x_i , x _j ) M _i,i  K (x_i , x_i ) 1
V_i   f (x_i )

44

ya'ni



(K (x , x ) 1)u

K (x , x

2

)u

2

...

K (x , x

n

)u

n





 f (x ) 



1

1

1

1

1

 

1





K (x2

, x1 )u1

(K (x2 , x2 ) 1)u2

...

K (x2 , xn )un





 f (x2 ) 



...



^

...











K (x

K (x

(K (x

) 1)u

 f (x



n

, x )u

1

n

, x

2

)u

2

...

n

, x

n





n

) ^



1

n 



hosil bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish mumkin.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishga keladi.

			Mu  v
Bunda	a : 0 b : 1 N : 10 h :	b  a	i : 0...N j : 0...N x : a  ih
		N	i

M _{i, j} : K (x_i , x _j ) M _i,i : K (x_i , x_i ) 1 v_i :  f (x_i )

Chiziqli algebraik tenglamalarni yechsak funksiyaning berilgan to’rdagi

sonli yechimlarini olamiz. Mathcaddagi “lsolve” buyrug’iyordamidabizberilgantenglamaniyechiminichiqaramiz.

u : lsolve(M ,v)

2.2.1-chizma. Tenglamaningmathcaddagiyechimi.

45

Integro-

differensialtortebranishtenglamasidanyadronitopishmasalasinitaqribiyyechis
					h.^2
Masalaning qo’yilishi:
utt  u zz  ^t			k ( )u ( z , t   ) d, z  0, t  R
0			(2.2.4)
tenglamaning
u		t  0 ^ ^0,	u z		z0 ^ ^ ^'(^t ^) (2.2.5)

Boshlang`ich va chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi ^{u ( z , t )} yechimini topish masalasini qaraymiz. Bu yerda  ' (t)  _dt^d  (t),  (t)  Dirakning delta funksiyasi.

(3.1.1) tenglamadagi integral ostidagi ^{k(t )} funksiya noma`lum deb hisoblanadi. Bu funksiyani toppish maqsadida (3.1.1), (3.1.2)masala yechimiga nisbatan

u

z0   (t )  f (t )(t ), t R (2.2.6)

Shart berilgan bo`lsin, bu yerda (t)  1, t  0; (t)  0, t  0.

Noma`lum

^k^(^z^)funksiyani sonli topish

algoritmini amalga

oshirish uchun

bu

DT

h 

T

formulalar

asosiy hisoblanadi. Ushbu

algoritmni yozamiz.

sohada

N

qadamli tekis to`rni kiritamiz. Formulalarni ulardagi integrallarni to`g`ri to`rtburchak kvadratur formulalar bilan almashtirib yozib olamiz. Buning uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

t_i  h (i  1), z _j  h ( j  1), 1  i  j  N  1, f _i  f (t_i ),


U _ij  U (t_i , z _j ), _ij  (t_i , z _j ), k _j  k (z _j ), i  1, j , j 1, N.

1. ²Дурдиев Д. Қ, Жумаев Ж.Ж. Задача определения нестационарного коэффициента поглощения.// Математическая физика и ее приложения вторая международная конференция, Самара, 2010,с,115-117,

2. 
   Дурдиев Д. Қ, Жумаев Ж.Ж. Интегро-дифференциал тор тебраниш тенгламаси учун тескари масалани сонли ечиш//Бухоро ,2012,с,5-7.
   

46

Natijada

j i

^Uij

 f i

^^h^l  i 1,i

(15)

l 1

1

j i

l  i 1

^ij



f j^'  h  [ k l  i 1  h

 ^k ^Ui  l   , j  1 ^]

(16)

2

l 1

 1

j 1

l

k j

 2 f j^"  h  [ k l

^fj  l 1 ^ ^h ^k ^l   1, j  1 ^]

(17)

l 1

 1

larga ega bo`lamiz.

k , j 

k  2 f ^"

1, N

larni

topish

protsedurasini

ko`rsatamiz. Formuladan

j

1

1

k j , j 

ekanligini ko`rish mumkin.

1, m

lar

topilgan deb faraz qilamiz.U holda

dastlab 1  i  j  m 1

lar uchun ^U ij va ^ij

larni formulalar yordamida topamiz,

so`ngra ^km 1 miqdorni hisoblaymiz.

Algoritmning ishlasini tekshirish maqsadida berilgan funksiya