Mirzo Ulugʻbek nomidagi Oʻzbekiston Milliy universiteti

x ²  1 dx  x  ¹₃  x³

	500
	x^3
x			0
	3
					500
								10				5	0		5		10
														x

2. 
   ^
   

1.2.8-chizma. Berilgan funksiya grafigi.

x  1 dx  ¹₂  ( x  1)  ( x 1)

x1


15


10


5

0
		10			5	0		5		10
							x

• 
  x1 x1
  

2

1.2.9-chizma. Berilgan funksiya grafigi.

100


50

0
	50
				10				5	0		5		10
										x
									33

1.2.10-chizma. Berilgan funksiya grafigi.
I-bob bo`yicha qisqacha xulosa.

I-bobida integral tenglamalar nazariyasi va uni yechish usullari keng yoritilgan eng sodda metodlar haqida ma’lumotlar keltirilgan. Bu metodlar tahlil qilinib misollar yordamida tushuntirilgan. Zamonaviy matematik paketlarning imkoniyatlari va kamchililklari, qo`llanish sohalari, mathcad dasturi haqida ham keng yoritib berilgan. Mathcad matematik dasturlash muhitida ishlashning yaqqol ajralib turadigan imkoniyatlari sanab o’tilgan. Jumladan aniq integralni hisoblash, egri chiziqlar bilan ajratilgan sohaning yuzi,ikki karrali integrallarni hisoblab figuraning hajmi topish, Murakkab ko'rinishdagi integrallarni son qiymatini topishda turli xil metodlardan foydalanish, yuqori tartibli integrallarning son qiymatini hisoblash Mathcad tizimi misollar bilan tushuntirilgan.

34

II-BOB. Sonli usullar
2.1Integrallarni sonli usullarda hisoblash: To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, simpson.

Integrallanuvchi f(x) funksiyaning boshlang`ichini ma’lum funksiyalar orqali ifodalash mumkin bo`lmaganda, f(x) funksiya jadval yoki grafik usulda berilganda integrallni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi.

Aytaylik [a;b] oraliqda f(x) funksiya grafigi yordamida x=a, x=b hamda y=f(x) chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblash kerak bo`lsin.

Aniq integralni taqribiy hisoblash

Aniq integralni hisoblash			talab qilingan		bo‘lsin. Agar f(x) funksiya
a,b kesmada uzluksiz	bo‘lsa,	bu masalani umumiy holda Nyuton-Leybnits
formulasi
^b	f (x)dx  F (b)  F (a)				(2.1.1)
a

yordamida hal qilinadi. (F(x)=f(x)). Ammo ma’lumki, ko‘pchilik funksiyalarning boshlang’ich funksiyalari (aniqmas integrallari) elementar funksiyalar bo‘lmasligi mumkin. Undan tashqari, boshlang’ich funksiya elementar bo‘lgan ba’zi hollarda (2.1.1) formulaning o‘ng tomoni hisoblash uchun amaliy jihatdan yaroqsiz (noqulay) bo‘lishi mumkin.

Bunday hollarda integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu formulalar, asosan, integralning geometrik ma’nosiga

b
suyangan holda chiqariladi. Ma’lumki,  f (x)dx integral y=f(x) egri chiziq, x=a va
a


x=b to‘g’ri chiziqlar hamda abtsissalar o‘qi bilan chegaralangan xOy koordinatalar tekisligidagi egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (f (x)>0 deb faraz qilamiz).
35

2.1.1-chizma. Egri chiziqli trapetsiya yuzi.

b	a,bkesmani n ta
Endi S=  f (x) dx integralni taqribiy hisoblash maqsadida.
a

bo‘laklarga bo‘lamiz va bo‘linish nuqtalarini (tugunlarini) o‘sish tartibida a=x₀<x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b

ko‘rinishida belgilaymiz. U holda,

b	n		xi
 f (x) dx  			 f (x) dx	(2.1.2)
a	i 	1	^xi 1
ekanligini payqash qiyin emas.
x
Oxirgi tenglikdagi ^i	f (x) dx		(i=1,2,…,n) integrallarni taqribiy hisoblashning
^xi 1
bir qator usullari mavjud bo‘lib,		ulardan ba’zi birlarini quyida keltiramiz.