Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

 
§ 13.2. Massasi tekis taqsimlangan yuzaning (zichligi 
1


 bo’lganda) og’irlik markazi va inertsiya 
momentlari 
 
Massasi tekis taqsimlangan S yuzaning og’irlik markazi koordinatalari:
S
ydxdy
y
S
xdxdy
x
c
c




,
(13.14)
S yuzaning inertsiya momentlari:






)
(
2
0
)
(
2
)
(
2
,
,
S
S
y
S
x
dxdy
r
I
dxdy
x
I
dxdy
y
I
(13.15) 
 
“A” guruh 
 
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan yuzaning og’irlik markazi topilsin: 
13.57
. 
0

y
va 
x
y
sin

sinusoidaning bitta yarim to’lqini.
13.58
. 
0
,
4
,
2



y
x
x
y
13.59
. 
ax
y

2
va 
.
13.60
.
va 
0

y
.
“
В
” guruh 
13.61.
3
2
3
2
3
2
a
y
x


astroida va 
Ox 
o’q bilan chegaralangan yuzaning og’irlik markazi.
Quyidagilarning og’irlik markazlari aniqlansin : 
13.62
.
0
,
,
2



y
a
x
ax
y
lar bilan chegaralangan parabola yarim segmentining (
bo’lganda).
13.63
. 
Ox
o’q bilan kesilgan 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
yarim ellisning.
 
 
“
С
” guruh
13.64
. 
x
y
a
x
a
y
2
,
2



va 
0

x
chiziqlar bilan chegaralangan yuzaning 
Oy
o’qqa nisbatan inertsiya 
momenti aniqlansin.
13.65
. Uchlari 
A
(1;1), 
B
(2;1), 
C
(3;3) nuqtalarda bo’lgan uchburchak yuzining 
Ox
o’qqa nisbatan inertsiya 
momenti aniqlansin.
§ 13.3. Uch o’lchovli integral va uning tadbiqi 
 
Agar (V) soha 
 
 




y
x
z
z
y
x
z
x
y
y
x
y
b
x
a
,
,
,
,
1
2
1
1
2
1






tengsizliklar bilan 
aniqlangan bo’lsa, u holda 


 
 


 
 
 




)
(
,
,
2
1
2
1
,
,
,
,
V
y
x
z
y
x
z
x
y
x
y
b
a
dz
z
y
x
F
dy
dx
dxdydz
z
y
x
F


1
,
,

z
y
x
F
bo’lganda V ning hajmi hosil bo’ladi. Hajmi V ga teng bo’lgan bir jinsli jismning og’irlik 
markazi koordinatalari quyidagi formulalar bilan topiladi: 
x
y

2
2
2
a
y
x


0

y

---

 
 




V
c
V
c
ydxdydz
V
y
xdxdydz
V
x
1
,
1
va hokazo. 
13.66. 
2
2
2
2
2
2
,
y
x
a
az
y
x
az





sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmi aniqlansin. 
13.67. 
2
2
2
2
2
2
2
,
0
a
z
y
x
z
y
x






sirtlar bilan chegaralangan jismning konus ichidagi 
qismining hajmi aniqlansin.
13.68. 
0
2
2
2



z
y
x
konus sirti 
az
z
y
x
2
2
2
2



sharning hajmini 3:1 nisbatda bo’lishi ko’rsatilsin. 
13.69. Yoqlari 
0
,
0
,
0
,






z
y
x
a
z
y
x
tekisliklar bilan tashkil etilgan piramidaning har bir 
nuqtasidagi zichlik shu applikatasi z ga teng. Piramidaning massasi aniqlansin.
Quyidagi sirtlar bilan chegaralangan bir jinsli jismning og’irlik markazi aniqlansin: 
13.70. 
0
,
0
,
0
,






z
y
x
a
z
y
x
13.71. 
0
,
2
2
2




z
y
x
a
az
Quyidagi uch o’lchovli integralni hisoblang. 
13.72. 



3
0
2
0
1
0
dz
dy
dx
13.73. 







c
b
a
dz
z
y
x
dy
dx
0
0
0
13.74. 



y
x
a
xyzdz
dy
dx
0
0
0
13.75. 



xy
x
a
zdz
y
x
dy
dx
0
3
3
0
0
13.76. 


















z
y
x
x
e
e
dz
e
y
x
e
x
y
x
z
dy
dx
0
1
0
1
0
ln
Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning ta’rifi, 
ularning xossalari va ularni hisoblash. Grin formulasi. Egri 
chiziqli integral yordamida yuzani hisoblash. Egri chiziqli 
integrallarning integrallash yuliga bog‘liq bo’lmasligi sharti. 
Egri chiziqli integrallarni geometriya va mexanika 
masalalarini echishga tadbiqlari. 
Birinchi tur egri chiziqli integrallar 
xOy
tekislikning biror 
D
sohasida tenglamasi 
  

b
x
a
x
y




bo’lgan 
L
silliq chiziq 
to’laligicha joylashgan (yotgan) bo’lsin. 
 
y
x
f
,
funksiya shu 
L
chiziqdagi 
AB
yoyining har bir nuqtasida 
aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
AB
yoyni 
B
A
A
A
A
A
n


,...,
,
,
2
1
0
nuqtalar yordamida uzunliklari 
n
l
l
l



,...,
,
2
1
bo’lgan 
n
ta ixtiyoriy bo’laklarga bo’lamiz. Bu bo’laklarning har birida ixtiyoriy ravishda 










n
i
l
y
x
M
y
x
M
y
x
M
y
x
M
i
i
i
i
n
n
n
,
1
,
,
,
,...,
,
,
,
2
2
2
1
1
1



nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlab 
olingan nuqtalarning har birida 
 
y
x
f
,
funksiyaning qiymatlarini hisoblab 






















n
i
i
i
i
n
n
n
l
y
x
f
l
y
x
f
l
y
x
f
l
y
x
f
1
2
2
2
1
1
1
,
,
...
,
,
(13.16) 
yig’indini tuzamiz. Hosil bo’lgan bu yig’indi 
L
chiziqning 
AB
yoyida 
 
y
x
f
,
funksiyaning integral 
yig’indisi deyiladi. Bu yerda shuni ta’kidlash kerakki, har qanday berilgan 
 
y
x
f
,
funksiya va 
AB
yoy 
uchun bu yoyni har xil ko’rinishda n ta bo’lakka bo’lib, ularda bittadan 
i
i
l
M


nuqtalarni tanlab olish 
mumkin. Bu yerda shuni ta’kidlash kerakki, har qanday berilgan 
 
y
x
f
,
funksiya va 
AB
yoy uchun bu 
yoyni har xil ko’rinishda n ta bo’lakka bo’lib, ularda bittadan 
i
i
l
M


nuqtalarni tanlab olish mumkin. 
y 
(D) 
B 
A 

---

13.6- shakl 
Natijada (13.16) ko’rinishdagito’g’riintegralyig’indilarnituzaolamiz. nnicheksizorttirib,
0
max




i
n
l
(*) 
bo’lganda (13.16) integral yig’indining limitini (agar mavjud bo’lsa) hisoblash mumkin.
Ta’rif: (*) shartlar asosida (13.16) ko’rinishdagi integral yig’indilarning limiti mavjud bo’lib, u 
yagona bo’lsa, bu limit 
 
y
x
f
,
funkiyadan 
AB
yoy bo’yicha olingan I tur egri chiziqli integral deyiladi va
 













1
0
max
,
lim
,
i
i
i
i
l
AB
l
y
x
f
dl
y
x
f
i
n
(13.17) 
ko’rinishda yoziladi. Bu yerda 
dl
-yoy differensiali deyiladi va 
   
2
2
dy
dx
dl


formula yordamida 
hisoblanadi.
I tur egri chiziqli integralni hisoblashda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
1. Agar L chiziqdagi AB yoyning tenglamasi 
  

b
x
a
x
y




ko’rinishda bo’lsa, u holda 
(13.17) I tur egri chiziqli integral
 
 


 


dx
x
x
x
f
dl
y
x
f
AB
AB
2
1
;
,






(13.18) 
formula yordamida hisoblanadi.
2. Agar L chiziqning tenglamasi 
  

d
y
c
y
x




ko’rinishda bo’lsa, u holda (13.17) integral 
 
 


 


dy
y
y
y
f
dl
y
x
f
AB
AB
1
;
,
2






(13.18
/
) 
formula yordamida hisoblanadi.
3.Agar L egri chiziq parametrik ko’rinishdagi 
 
  

2
1
,
t
t
t
t
y
t
x






tenglamalar bilan 
berilgan bo’lsa, u holda (13.17) egri chiziqli integral 
 
   


 
 
 
 
dt
t
t
t
t
f
dl
y
x
f
t
t
AB
2
2
2
1
,
,








(13.19) 
formula yordamida hisoblanadi.
4. Agar L egri chiziq fazoda 
 
 
t
y
y
t
x
x


,
va 
  

2
1
t
t
t
t
z
z



tenglama bilan berilgan 
bo’lsa, u holda (13.17) integral 
 
     


 
 
 
 
 
 
dt
t
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
f
dl
y
x
f
t
t
AB
2
2
2
2
1
,
,
,








(13.20) 
formula yordamida hisoblanadi.