13.81.
L
y
x
ds
, bu yerda L:
2
2
1
x
y
to’g’ri chiziqning nuqtalari
A
(0; -2) va
B
(4; 0) orasidagi kesma.
13.82.
L
xyds
, bu yerda L:
uchlari
A
(0; 0),
B
(4; 0),
C
(4; 2) va
D
(0; 2) bo’lgan to’rtburchak.
13.83.
L
ydl
, bu yerda L:
px
y
2
2
parabolaning
A
(0; 0) va
B
(2p;2p) nuqtalari orasidagi L yoyni hisobalng.
13.84.
L
n
ds
y
x
2
2
, bu yerda L:
t
a
y
t
a
x
sin
,
cos
aylana.
13.85.
L
xyds
, bu yerda L:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
ellipsning choragi.
§13.5. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar
y
x
P
,
va
y
x
Q
,
funksiyalar
b
x
a
x
y
tenglama orqali ifodalangan
L
egri
chiziqning
AB
yoyi nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
AB
yoyni
B
A
A
A
A
A
A
n
n
,
,...,
,
,
1
2
1
0
nuqtalar yordamida ixtiyoriy
ravishda uzunliklari
n
l
l
l
,...,
,
2
1
bo’lgan bo’laklarga bo’lamiz.
Bu bo’laklarda
n
i
y
x
M
i
i
i
,
1
;
nuqtalarni ixtiyoriy tanlab
n
i
i
i
i
i
i
i
y
y
x
Q
x
y
x
P
1
;
;
(**)
ko’rinishdagi yig’indini hosil qilamiz. Bu yig’indi
y
x
P
,
va
y
x
Q
,
funksiyalar uchun koordinatalar
bo’yicha integral yig’indi deyilib, unda
i
i
y
x
,
miqdorlar
i
l
yoy bo’lakchasining
mos ravishda
Ox
va
Oy
o’qlaridagi proyeksiyalarini (akslarini) bildiradi.
Ta’rif
: (**) integral yig’indining
0
max
i
n
x
va
0
max
i
n
y
bo’lganda limiti mavjud bo’lsa va
u
n
i
y
x
M
i
i
i
,
1
;
nuqtalarning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmasa, u holda bu limit
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
,
,
ifodadan
AB
yoy yo’nalishi bo’yicha olingan II tur (yoki koordinatalar bo’yicha) egri
chiziqli integral deyiladi va
AB
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
,
,
ko’rinishda yoziladi.
Ta’rifga asosan
n
i
i
i
i
i
i
i
y
x
n
AB
y
y
x
Q
x
y
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
1
0
max
0
max
;
;
lim
,
,
(13.21)
formula II tur egri chiziqli integralni hisoblash formulasi bo’ladi.
II tur egri chiziqli integralni hisoblashda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
1.
AB
yoy
b
x
a
x
y
tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda II
tur egri chiziqli integral
dx
x
x
x
Q
x
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
b
a
AB
,
,
,
,
(13.22)
formula bo’yicha hisoblanadi.
1
/
. Agar
d
y
c
y
x
bo’lsa, u holda
dy
y
y
Q
y
y
y
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
d
c
L
,
,
,
,
(13.22
/
)
formula bo’yicha hisoblanadi.
2. Agar L egri chiziq parametrik ko’rinishdagi
2
1
,
t
t
t
t
y
t
x
tenglamalar
bilan berilgan bo’lsa, u holda II tur egri chiziqli integral
dt
t
t
t
Q
t
t
t
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
t
t
L
2
1
,
,
,
,
(13.23)
formula bo’yicha hisoblanadi.
3. Agar
L egri chiziq fazoda
2
1
,
,
t
t
t
t
z
z
t
y
y
t
x
x
formulalar bilan berilgan
bo’lsa, u holda II tur egri chiziqli integral
dt
t
z
t
z
t
y
t
x
R
t
y
t
z
t
y
t
x
Q
t
x
t
z
t
y
t
x
P
dz
x
R
dy
x
Q
dx
x
P
t
t
L
2
1
,
,
,
,
,
,
z
y,
,
z
y,
,
z
y,
,
(13.24)
formula bo’yicha hisoblanadi.
“A” guruh
13.86.
L
xdy
egri
chiziqli integral
1
b
y
a
x
to’g’ri chiziqning absissalar o’qi
bilan kesishgan
nuqtasidan ordinatalar o’qi bilan kesishgan nuqtasigacha bo’lgan kesmada hisoblansin.
13.87.
dy
x
y
xydx
L
egri chiziqli integral 1)
,
x
y
2)
2
x
y
, 3)
3
x
y
,
4)
x
y
2
egri chiziqlarning
1
;
1
,
0
;
0
B
A
nuqtalar orasidagi burchagida hisoblansin.
13.88.
1
0
,
2
,
2
x
xdx
dy
x
y
, (13.22) formulaga ko’ra
12
1
3
2
4
3
3
2
4
3
2
3
2
2
2
1
0
3
1
0
4
1
0
2
1
0
3
1
0
1
0
2
3
3
2
2
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dy
x
y
xydy
L
13.89.
1
0
,
3
,
2
3
x
dx
x
dy
x
y
, (13.22) formuladan foydalansak, u holda
20
1
4
3
2
1
5
1
4
3
6
3
5
3
3
3
1
0
4
1
0
6
1
0
5
1
0
1
0
3
5
4
2
3
3
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dy
x
y
xydy
L
13.90.
1
0
,
2
,
2
y
ydy
dx
x
y
, (13.22
/
) formulaga asosan
30
17
3
1
2
1
5
2
3
2
5
2
2
2
1
0
3
1
0
2
1
0
5
1
0
1
0
2
1
0
1
0
4
2
2
y
y
y
dy
y
ydy
dy
y
dy
y
y
y
y
y
dy
x
y
xydy
L
13.91.
Tenglamalari
t
y
t
x
3
3
sin
,
cos
bo’lgan astroidaning
1
;
0
0
;
1
B
va
A
nuqtalar orasidagi
yoyida
dy
y
dx
x
L
L
:
3
:
3
3
3
egri chiziqli integral hisoblansin.
13.92.
L
xdy
egri chiziqli integral
1
3
2
y
x
to’g’ri chiziq va koordinata o’qlarining kesishidan hosil bo’lgan
uchburchakning konturida hisoblansin (yo’nalish soat strelkasi yo’nalishiga qarama-qarshi olinsin). Javob:
3
13.93.
L
dy
y
x
2
2
egri chiziqli integral
2
x
y
parabolaning (0; 0) va (2; 4) nuqtalari orasida joylashgan
yoyda hisoblansin. J:
15
56
13.94.
L
xdy
ydx
egri chiziqli integral
t
R
y
t
R
x
sin
,
cos
tenglamalar
bilan berilgan aylananing
0
1
t
va
2
2
t
qiymatlarga mos keluvchi nuqtalari orasidagi bo’lagida hisoblansin. J: 0
13.95. Parametrik tenglamalari
2
,
sin
,
cos
at
z
t
R
y
t
R
x
bo’lgan vint chizig’i
0
z
va
a
z
tekisliklar bilan kesishgan nuqtalari orasidagi yoyda
L
xydz
zxdy
yzdx
egri chiziqli integral
hisoblansin. J: 0
13.96.
AB
xdy
xdx
y
2
cos
2
sin
2
egri chiziqli integral ixtiyoriy chiziqning
2
;
4
A
va
1
;
6
B
nuqtalari
orasida hisoblansin. J: -0.5
13.97.
2
x
y
va
9
y
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning konturida (chegarasida)
C
dy
x
y
x
2
1
2
egri chiziqli integral hisoblansin. J: 0
13.98. Grin formulasidan foydalanib
C
dy
x
dx
x
y
2
2
egri chiziqli integral uchlari
O(0; 0), A(a; a) va B(0; a) nuqtalarda joylashgan OAB uchburchakning perimetrida (konturida) hisoblansin.
J:
3
3
a
Do'stlaringiz bilan baham: 
