|
Uch karrali integral tushunchasi.
Faraz qilaylik,
fazoda chegaralangan, hamda xajmga ega
bo’lgan
jism (to’plam) da
funktsiya aniqlangan va chegaralangan bo’lsin.
.
to’plamning biror
bo’laklashini va har bir
da ixtiyoriy
nuqtani
olib, ushbu
yig’indini tuzamiz. U
funktsiyaning integral yig’indisi deyiladi.
1-ta’rif.
Agar
son olinganda ham, shunday
son topilsaki,
to’plamning
diametri
bo’lgan har qanday
bo’laklash hamda har bir
da olingan ixtiyoriy
lar
uchun
tengsizlik bajarilsa,
son
yig’indining
dagi limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
2ta’rif
. Agar
da
funktsiyaning integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa,
funktsiya
to’plamda integrallanuvchi,
songa esa
funktsiyaning
to’plam
bo’yicha uch karrali integrali deyiladi va quyidagicha
belgilanadi. Demak,
.
1-teorema
. Agar
funktsiya chegaralangan yopiq
to’plamda uzluksiz bo’lsa, u shu
to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.
2-teorema.
Agar
funktsiya chegaralangan yopiq
to’plamdagi chekli sonda nol
xajmli sirtlarda uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo’lsa,
funktsiya
to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.
Uch karrali integralning xossalari.
Uch karrali integrallar ham ikki karrali integralning xossalari
kabi xossalarga ega.
1
0
.
funktsiya
da
integrallanuvchi bo’lsin. Agar
to’plam nol xajmli
sirt bilan umumiy ichki nuqtaga ega bo’lmagan bog’lamli
va
to’plamlarga ajralgan bo’lsa,
funktsiya har bir
va
to’plamlarda integrallanuvchi va
bo’ladi.
2
0
. Agar
funktsiya
to’plamda integrallanuvchi bo’lsa,
funktsiya (
) ham
to’plamda integrallanuvchi va
bo’ladi.
3
R
V
)
,
,
(
z
y
x
f
M
z
y
x
f
m
)
,
,
(
V
z
y
x
)
,
,
(
V
}
,...,
,
{
2
1
n
V
V
V
P
k
V
k
k
k
k
V
)
,
,
(
n
k
,..,
2
,
1
n
k
k
k
k
k
V
f
1
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
0
0
V
p
P
k
V
)
,
,
(
k
k
k
J
J
0
p
J
o
p
lim
0
p
)
,
,
(
z
y
x
f
)
,
,
(
z
y
x
f
V
J
)
,
,
(
z
y
x
f
V
V
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
n
k
k
k
k
k
V
p
V
f
dxdydz
z
y
x
f
1
0
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
V
)
,
,
(
z
y
x
f
V
)
,
,
(
z
y
x
f
V
)
,
,
(
z
y
x
f
V
3
R
V
V
S
1
V
2
V
)
,
,
(
z
y
x
f
1
V
2
V
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
V
V
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
z
y
x
f
V
)
,
,
(
z
y
x
f
c
const
c
V
V
V
dxdydz
z
y
x
f
c
dxdydz
z
y
x
cf
)
,
,
(
)
,
,
(
3
0
. Agar
va
funktsiyalar
da integrallanuvchi bo’lsa,
,
funktsiyalar integrallanuvchi va
bo’ladi.
4
0
. Agar
funktsiya
to’plamda integrallanuvchi bo’lib,
da
bo’lsa,
bo’ladi.
5
0.
Agar
funktsiya
to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
funktsiya ham
da integrallanuvchi va
bo’ladi.
6
0
. Agar
funktsiya
to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
son topiladiki,
bo’ladi (O’rta qiymat haqidagi teorema).
Uch karrali integrallarni hisoblash.
Uch karrali integrallarni hisoblash formulalari integrallash
to’plamining ko’rinishiga qarab turlicha bo’ladi.
a) Aytaylik,
funktsiya
fazodagi
to’plamda (parallelepipedda) uzluksiz bo’lsin. U holda
(2)
bo’ladi.
b) Aytaylik,
fazodagi
to’plam – pastdan
, yuqoridan
sirt,
(bunda
to’plam
jismning
tekisligidagi proektsiyasi) bilan chegaralangan to’plam
bo’lsin. Agar bu
da
uzluksiz,
va
funktsiyalar
da uzluksiz bo’lsa,
u holda
(3)
bo’ladi.
v) Aytaylik, b) holdagi
to’plam quyidagicha
bo’lib,
va
funktsiyalar
da uzluksiz bo’lsin. U holda
bo’ladi.
Uch karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish
.
Aytaylik,
funktsiya
to’plamda berilgan va uzluksiz bo’lsin. Ushbu
)
,
,
(
z
y
x
f
)
,
,
(
z
y
x
g
V
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
g
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
g
z
y
x
f
V
V
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
g
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)]
,
,
(
)
,
,
(
[
)
,
,
(
z
y
x
f
V
V
z
y
x
)
,
,
(
0
)
,
,
(
z
y
x
f
0
)
,
,
(
V
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
z
y
x
f
V
)
,
,
(
z
y
x
f
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
V
V
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
V
)
(
M
m
V
dxdxydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
)
)
,
,
(
:
)
,
,
(
(
M
z
y
x
f
m
V
z
y
x
)
,
,
(
z
y
x
f
3
R
}
,
,
:
)
,
,
{(
3
q
z
p
d
y
c
b
x
a
R
z
y
x
V
b
a
d
c
q
p
V
dx
dy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
]
)
)
,
,
(
(
[
)
,
,
(
3
R
V
)
,
(
1
y
x
z
)
,
(
2
y
x
z
2
R
D
V
0
X Y
V
)
,
,
(
z
y
x
f
)
,
(
1
y
x
)
,
(
2
y
x
D
dxdy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
y
x
y
x
V
)
,
(
)
,
(
2
1
,
,
)
,
,
(
D
)}
(
)
(
,
:
)
,
{(
2
1
2
x
y
x
b
x
a
R
y
x
D
1
2
]
,
[
b
a
b
a
x
x
y
x
y
x
V
dx
dy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
]
)
)
,
,
(
(
[
)
,
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
z
y
x
f
,
,
3
R
V
sistema
to’plamni
to’plamga akslantirish bo’lib, bu akslantirish 85ma’ruzada keltirilgan 1)– 3)
– shartlarni bajarsin. U holda
bo’ladi, bunda
bo’ladi.
Ko’p hollarda dekart koordinatalaridan tsilindrik hamda sferik koordinatalarga o’tish bilan uch
karrali integrallar hisoblanadi.
a) Dekart koordinatalari
dan tsilindrik koordinatalar
ga o’tish
,
,
,
formulalar yordamida amalga oshiriladi. Bu
almashtirishning yakobiani
bo’lib,
bo’ladi.
b) Dekart koordinatalari
dan sferik koordinatalar
ga o’tish
,
,
formulalar yordamida amalga oshiriladi.
Almashtirish yakobiani
bo’lib,
bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
