Mexanika” yo’nalishi tinglovchisi

1.2. DINAMIKANING UMUMIY TENGLAMASIDAN LAGRANJNING IKKINCHI TUR TENGLAMASINI HOSIL QILISH.
Erksiz golonom sistemaning harakat tenglamalrini dinamikaning umumiy tenglamasidan foydalanib keltirib chiqaramiz.
Umumlashgan koordinatalrni tanlab, sistema nuqtalarining dekart koordinatalarini umumlashgan koordinatalar orqali ifodalab olamiz, ya’ni
x_v=x_v(1.q₁, q₂, …, q_n,t);
y_v=y_v(1.q₁, q₂, …, q_n,t); (i=1,2,…,n)
z_v=z_v(2.q₁, q₂, …, q_n,t).
Yoki

Bu ifodani umumlashgan koordinatalar bo’yicha variasiyalaymiz:

Buni dinamikaning umumiy tenglamasiga qo’yamiz:

Yig’indi tartibini o’zgartiramiz

Umumlashgan koordinalarning ta’rifiga asosan, δq_i variasiyalar o’zaro bog’liqmas, shuning uchun
(1.14)
Bizga ma’lumki, umumlashgan kuchlar

formula bilan topiladi.
Shunday qilib, (1.14) tenglikdan
(1.15)
Yig’indi ostidagi ifodani quyidagicha almashtiramiz:
(1.16)
(1.17)
xususiy hosilalar umumlashgan koordinatalar va vaqtning funksiyasi bo’lgani uchun
(1.18)
(1.17) ni q_i bo’yicha differensiallaymiz:

ikkinchi tomondan

bularga asosan
(1.19)
(1.18) va (1.19) ifodalarni (1.16) ga qo’yamiz
(1.20)
(1.20) ni (1.15) ga qo’yib, sistema kinetik energiyasi uchun

formulani e’tiborga olib, (1.14) dan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
(1.21)
(1.21) tenglamalar Lagranjning II tur tenglamalari deyiladi.
Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini yechishning yagona va shu bilan birga sodda usulini bildiradi. Bu tenglamalarning yutug’i deb hisoblanadigan tomoni bu tenglamalarning ko’rinishi na mexanik sistemaga kiruvchi jismlar (nuqtalar) sonidan, na bu jismlar harakatining ko’rinishiga bog’liq; Lagranj tenglamalari soni sistemaning erkinlik darajasigagina bog’liq. Bundan tashqari ideal bog’lanishlar bo’lgan holda Lagranj tenglamalarining o’ng tomoniga umumlashgan kuchlar kiradi, va demak, bu tenglamalarda oldindan noma’lum bog’lanish reaksiyalari qatnashmaydi. Bu bilan noma’lum reaksiya kuchlarini topish masalasi erksiz mexanik sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish masalasidan ajratiladi. Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini dinamikaning ixtiyoriy masalasini yechishning yagona metodikasini - amallar bajarishning aniq tartibini belgilab beradi.