Mexanika” yo’nalishi tinglovchisi

1.3. MEXANIK SISTEMA TEBRANMA HARAKATLARINI TADQIQ ETISHDA LAGRANJNING II TUR TENGLAMALARI
Mexanik sistemalar harakatlarini tadqiq etishda ularning harakat differensial tenglamalarini tuzishda Lagranjning ikkinchi tur tenglamalarining o’rni sezilarli darajada. Shuning uchun malakaviy bitiruv ishining ushbu paragrafida Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari haqida qisqacha to’xtalib o’tamiz. Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini yechishning yagona va shu bilan birga sodda usulini bildiradi. Bu tenglamalarning yutug’i deb hisoblanadigan tomoni bu tenglamalarning ko’rinishi na mexanik sistemaga kiruvchi jismlar (nuqtalar) sonidan, na bu jismlar harakatining ko’rinishiga bog’liq; Lagranj tenglamalari soni sistemaning erkinlik darajasigagina bog’liq. Bundan tashqari ideal bog’lanishlar bo’lgan holda Lagranj tenglamalarining o’ng tomoniga umumlashgan kuchlar kiradi, va demak, bu tenglamalarda oldindan noma’lum bog’lanish reaksiyalari qatnashmaydi. Bu bilan noma’lum reaksiya kuchlarini topish masalasi erksiz mexanik sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish masalasidan ajratiladi. Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini dinamikaning ixtiyoriy masalasini yechishning yagona metodikasini - amallar bajarishning aniq tartibini belgilab beradi.
1.4. QO’SH MAYATNIK TEBRANISHLARI


Ushbu paragrafda bir-biri bilan kichik silindrik sharnir orqali bog’langan ikkita mayatnik – qo’sh mayatnikning harakatlarini tadqiq etamiz. Shaklda ushbu mexanik sistema tasvirlangan. Bir jinsli bo’lgan har bir sterjenlarning uzunliklari (2l) va massalari (m) teng. Qaralayotgan mexanik sistemaning erkinlik darajasi ikkiga teng. Qo’sh mayatnikning holatini to’liq aniqlab beradigan parametrlar – umumlashgan koordinatalar sifatida har bir mayatnikning vertikaldan og’ish burchagini olamiz: ularni mos ravishda birinchi va ikkinchi tartib raqamli indekslar orqali belgilaymiz.

Mexanik sistemaning harakat differensial tenglamalarini tuzish uchun Lagranjning II tur tenglamalaridan foydalanamiz.

Sistemaning kinetik energiyasi uni tashkil etuvchi ikkita sterjenlarning kinetik energiyalari yig’indisidan iborat:
T=T₁+T₂.
Sterjenlarning kinetik energiyalarini topamiz. Birinchi sterjen A nuqta atrofida aylanma harakatda bo’lganligi uchun uning kinetik energiyasi A nuqtaga nisbatan inersiya momenti va burchak tezligi orqali ifodalanadi. Bu sterjen bir uchi mahkamlanganligi uchun uning inersiya momenti formula orqali hisoblanadi. Demak, birinchi sterjenning kinetik energiyasi:
(1.22)
formula yordamida hisoblanadi.
Mexanik sistemaning ikkinchi sterjenining kinetik energiyasini hisoblaymiz. Ikkinchi sterjen tekis parallel harakat qilayapti. Uning kinetik energiyasini hisoblash uchun qattiq jismlarning kinetik energiyasini hisoblashning Kyonig teoremasidan foydalanamiz. Bu teoremaga asosan sterjenning kinetik energiyasi uning butun massasi bir nuqtada – massalar markazi D nuqtada joylashgan degan farazdagi moddiy nuqtaning kinetik energiyasi va shu massalar markazi atrofida aylanma harakat kinetik energiyalari yig’indisiga teng:
(1.23)
Ikkinchi BC sterjen og’irlik markazining koordinatalari
(1.24)
ga teng.
(1.24) tengliklardan vaqt bo’yicha hosila olamiz

Olingan tengliklarni (1.23) ifodaga qo’yib, sterjen massalar markazining kinetik energiyasini hisoblaymiz. U holda sterjen massalar markazining moddiy nuqta sifatidagi kinetik energiyasi quyidagiga teng:
(1.25)
Endi sterjenning massalar markazi atrofidagi aylanma harakati uchun kinetik energiyasini hisoblaymiz. Massalar markazi D nuqtaga nisbatan sterjenning inersiya momenti
(1.26)
formula asosida aniqlanadi. Massalar markazi atrofida aylanma harakat burchak tezligi ₂ bo’lganligi uchun aylanma harakat kinetik energiyasi quyidagicha topiladi:
(1.27)
Demak, ikkinchi sterjenning kinetik energiyasi (1.23) ga asosan
(1.28)
ga teng.
Demak, qaralayotgan mexanik sistemaning kinetik energiyasi quyidagiga teng:
(1.29)
Qo’sh mayatnikning (4.8) tenglik bilan aniqlanadigan kinetik energiya formulasi uning istalgan paytidagi istalgan burchak tezligi bilan harakati uchun o’rinli. Biz malakaviy bitiruv ishimizda qo’sh mayatnikning kichik tebranishlarini tadqiq etish bilan chegaralanamiz. Qo’sh mayatnikning kichik tebranishlari uchun kinetik energiya formulasi (1.29) tenglikdagi strjenlarning vertikaldan og’ish burchaklari yetarlicha kichik bo’lsin, degan farazga asoslanadi. Bu burchaklar yetarlicha kichik bo’lsa, deb olish mumkin.
Bu farazga asosan, qo’sh mayatnikning kichik tebranishlari uchun kinetik energiya
(1.30)
formula asosida hisoblanadi.
Endi qaralayotgan mexanik sistemaning potensial energiyasini hisoblaymiz. Sistema potensial energiyasi uni tashkil etuvchi sterjenlar og’irlik kuchlarining potensial energiyalari yig’indisiga teng:
(1.31)
Sistemaga ta’sir etuvchi og’irlik kuchlarini potensial energiyalari bu sterjenlarning og’irlik markazlarining geometrik o’rnining o’zgarishiga (massalar markazining balandligiga) bog’liq.
Birinchi sterjenning potensial energiyasi quyidagicha topiladi:
(1.32)
Ikkinchi sterjenning potensial energiyasi
(1.33)
ga teng.
Demak, qo’sh mayatnikning potensial energiyasi

Oxirgi olingan tenglik sistemaning ixtiyoriy holati uchun potensial energiyasini topish imkonini beradi. Lekin, biz qarayotgan holda sistema kichik tebranishlar sodir etadi, deb faraz qildik. U holda (1.32) va (1.33) tengliklarda qatnashgan burchaklar kichik va bu burchak kosinuslarini Makloren qatoriga yoyilmasining birinchi hadi bilan chegaralanish mumkin. Ya’ni,

deb olish mumkin. U holda qaralayotgan mexanik sistemaning kinetik energiyasi
. (1.34)
ko’rinish oladi.
Sistema uchun topilgan kinetik va potensial energiyalardan Lagranjning II tur tenglamalarida qatnashgan umumlashgan koordinatalar, umumlashgan tezliklar va vaqt bo’yicha hosilalarni hisoblaymiz.
Oldin sistema kinetik energiyasidan umumlashgan tezliklar bo’yicha hosilalarni hisoblaymiz
(1.35)
(1.36)
Sistema kinetik energiyasi umumlashgan koordinatalarga bog’liq bo’lmaganligi sababli tenglikdan umumlashgan koordinatalar bo’yicha olingan hosilalar
(1.37)
ga teng.
Endi (1.34) formula orqali aniqlanuvchi potensial energiyadan hosilalarni hisoblaymiz.
, . (1.38)
Olingan ifodalarni Lagranjning II tur tenglamalariga qo’yamiz
, . (1.39)
Oxirgi tengliklarni qisqartirib, hosilalarga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz
, . (1.40)
Bu tengliklarda g=10 deb olsak, sistemaning harakat differensial tenglamalari
(1.41)
Umumiy yechim
(1.42)
bunda
- tebranishlarning xususiy chastotalari.
Mexanik sistemaning harakatining boshlang’ich shartlari berilsa, (1.42) umumiy yechimlardan foydalanib, integral o’zgarmaslari C₁, C₂, C₃, C₄ larni topib, talab etilgan yechimlarni olish mumkin.
Sistema harakatlari uchun Maple dasturi vositasida harakat qonunini ifodalovchi grafik tasvirini olamiz.