Metrik fazoda ketma-ketlik va uning limiti

1-misol. fazoda ushbu

ketma-ketlikning limiti bo’lishi ko’rsatilsin.
◄ sonini olib, unga ko’ra ni topamiz.
Unda uchun

bo’ladi. Demak,
.►

KETMA-KETLIK LIMITINING MAVJUDLIGI
2⁰. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Faraz qilay-lik, fazoda ketma-ketlik va nuqta берилган бo’лсин.
1-tearema. Agar fazoda

ketma-ketlik

limitga ega bo’lsa;
,
u holda

bo’ladi.
◄ Aytaylik

bo’lsin.
Limit ta’rifiga binoan uchun

bo’ladi. Ravshanki,

bunda

Keyingi munosabatlardan , uchun

yani

bo’lishini topamiz. Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi.►
2-tearema. Agar fazodagi

ketma-ketlik va nuqta uchun


bo’lsa, u holda ketma-ketlik limitiga ega bo’lib,

bo’ladi.
◄ Tearemaning sharti hamda limit ta’rifidan foyda-lanib topamiz: bo’ladi.
bo’ladi.
........................................................................................
bo’ladi.
Agar

deyilsa, unda da bir yo’la

tengsizliklar bajariladi. U holda

yani,

bo’ladi. Demak
.►
Bu tearemalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
fazoda
ketma-ketlik limitga,

ega bo’lishi uchunbir yo’la


bo’lishi zarur va etarli.
Bu muhim tasdiq bo’lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini o’rganishni sonlar ketma-ketliklar limitlari-ni o’rganishga olib keladi. Sonlar ketma-ketliklarning limiti esa 6-8-ma’ruzalarda batafsil bayon etilgan.
Agar (1) ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim tearemani keltiramiz. Avvalo fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini ta’riflaymiz.
3-ta’rif. fazoda ketma-ketlik berilgan bo’lsin . Agar olinganda ham, shunday topilsaki, , lar uchun

tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.