Metrik fazoda ketma-ketlik va uning limiti

(xⁿ , a)  bo’lishi kelib chiqadi.Bu esa _ekanligini bildiradi. Demak

Yuqoridagi (3) va (4) munosabatlardan

_{ekanligi kelib chiqadi.}
Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz:
Teorema 1. fazoda {x⁽ⁿ⁾ }={x₁⁽ⁿ⁾x₂⁽ⁿ⁾… x_m⁽ⁿ⁾ } ketma -ketlikning a = (a₁,
a₂,… a_m) є ga intilishi x⁽ⁿ⁾ → a (n→ da) uchun n  da bir yo’la
bo’lishi zarur va eytarli.
Bu teorema fazoda ketma-ketlikning limitini o’rganishni sonli ketma-ketlikning
limitini o’rganishga keltirilishini ifodalaydi. Bayon etilgan teorema hamda sonlar ketma-ketligining hossalaridan fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
fazoda {x(n)} ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
1⁰.Agar {x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, uning limiti yagonadir.
Agar {x(n)} ketma-ketlikning barcha hadlaridan tuzilgan to’plam chegaralangan bo’lsa, {x(n)} ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.
Teorema. fazoda {x(n)} ketma-ketlik chegaralangan bo’lishi uchun uning koordinatalaridan tuzilgan {x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾}, …sonlar ketma-ketligining har biri chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidur.
2⁰. Agar {x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u chegaralangan bo’ladi. Chegaralangan ketma-ketliklar limitga ega bo’lishi ham bo’lmasligi ham mo’mkin
Masalan 1. {(-1)ⁿ⁺¹, (-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlik chegaralangan limitga ega emas
2. {(,n,n)} ketma-ketlik chegaralanmagan
3⁰. Agar {x⁽ⁿ⁾}ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti a bo’lsa u holda
{α x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti αa ga teng bo’ladi.
4⁰. {x(n)} va {y⁽ⁿ⁾} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib ularning limiti a va b
bo’lsa
{x⁽ⁿ⁾±y⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti a ± b ga teng bo’ladi:

5⁰. Agar a nuqta M  to’lamning limit nuqtasi bo’lsa M dan a ga intiluvchi
{x(n)} ketma-ketlik ajratish mumkin.