1-3 §. Ketma-ketlik limitining mavjudligi

1-3 §. KETMA-KETLIK LIMITINING MAVJUDLIGI
2. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Faraz qilaylik, fazoda ketma-ketlik va nuqta berilgan bo’lsin.


1-tearema. Agar fazoda

ketma-ketlik

limitga ega bo’lsa;
,
u holda

bo’ladi.

◄ Aytaylik

bo’lsin.
Limit ta’rifiga binoan uchun

bo’ladi. Ravshanki,

bunda

Keyingi munosabatlardan , uchun

ya`ni

bo’lishini topamiz. Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi.

2-teorema. Agar fazodagi

ketma-ketlik va nuqta uchun


bo’lsa, u holda ketma-ketlik limitiga ega bo’lib,

bo’ladi.
Teoremaning sharti hamda limit ta’rifidan foydalanib topamiz:

bo’ladi.
Agar

deyilsa, unda da bir yo’la

tengsizliklar bajariladi. U holda

ya`ni,

bo’ladi. Demak
.
Bu teoremalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi. Fazoda

ketma-ketlik limitga,

ega bo’lishi uchun bir yo’la


bo’lishi zarur va yetarli.
Bu muhim tasdiq bo’lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini o’rganishni sonlar ketma-ketliklar limitlarini o’rganishga olib keladi.
Agar ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim teoremani keltiramiz. Avvalo fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini ta’riflaymiz.
3-ta’rif. fazoda ketma-ketlik berilgan bo’lsin . Agar olinganda ham, shunday topilsaki, , lar uchun

tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.
3-teorema (Koshi teoremasi). ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va etarli.
3⁰. Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar printsipi. fazoda markazlari

nuqtalarda, radiuslari bo’lgan ushbu

yopiq sharlar ketma-ketligini qaraylik. Agar bu yopiq sharlar ketma-ketligining hadlari uchun quyidagi

munosabat o’rinli bo’lsa, ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi deyiladi.
Aytaylik, fazoda ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi bo’lsin.
4-teorema. Agar da shar radiuslari nolga intilsa, yani

bo’lsa, u holda barcha yopiq sharlarga tegishli bo’lgan nuqta mavjud va u yagona bo’ladi.
◄ Shar markazlaridan tuzilgan

ketma-ketlikni qaraylik. Uning fundamental ketma-ketlik bo’lishini ko’rsatamiz.
Shartga ko’ra
.
Unda

bo’ladi. Ayni paytda, yopiq sharlar ichma-ich joylashganligidan ixtiyoriy

uchun

bo’lib

bo’ladi.
Demak, fundamental ketma-ketlik. Unda Koshi teoremasiga ko’ra u yaqinlashuvchi bo’ladi:

Bu nuqta to’plamning limit nuqtasi va yopiq bo’lganligi uchun bo’ladi. Demak, barcha sharlarga tegishli bo’lgan nuqta. Faraz qilaylik, nuqtadan farqli barcha sharlarga tegishli bo’lgan nuqta mavjud bo’lsin: . Masofaning 3-xossasidan foydalanib topamiz:
.
Agar да bo’lishini e’tiborga olsak, keyingi munosabatdan , yani bo’lishi kelib chiqadi.
Odatda, bu teorema ichma-ich joylashgan yopiq sharlar prinsipi deyiladi.
4. Qismiy ketma-ketliklar. Bolsano-Veyershtrass tearemasi.
fazoda :

ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Ushbu ketma-ketlik

bunda,

Berilgan ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi. U kabi belgilanadi.
Ravshanki, bitta ketma-ketlikning turlicha qismiy ketma-ketliklari bo’ladi.
Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’lsa, bu ketma-ketlikning har qanday qismiy ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’ladi.
Bu tasdiqning isboti ketma-ketlik limiti ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Aytaylik, fazoda biror to’plam berilgan bo’lsin: . Agar fazoda markazi , radiusi bo’lgan shar topilsaki:


bo’lsa, chegaralangan to’plam deyiladi.
Endi Bolsano-Veyershtrass tearemasini isbotsiz keltiramiz.
5-teorema (Bolsano-Veyershtrass teoremasi).
fazoda har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Xususiy xollar. bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik sonlar ketma-ketligi bo’ladi. Ma’lumki, sonlar ketma-ketligi va uning limitini biz avval batafsil o’rganganmiz.
bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik tekislik nuqtalaridan iborat

ketma-ketlik bo’ladi. Bu ketma-ketlikning limiti va sonlar ketma-ketliklarining limitlari orqali o’rganiladi.
Masalan, ushbu

ketma-ketlik limitga ega bo’lmaydi, chunki

ketma-ketliklar limitga ega emas.