Методика изучения положительных и отрицательных чисел

Вычитание и деление определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Это уже известная учащимся форма этих действий. Но объемы этих понятий, то есть каждого из двух обратных действий, значительно расширяются.
В школьном курсе математики определение действия обычно дается в виде правила. Причем даются отдельно правила сложения отрицательных чисел и правила сложения чисел с разными знаками. Формулировка этих правил содержит указания на соответствующие действия, операции. К такому введению действий учащиеся уже привыкли.
IV. Ijobiy va manfiy sonlar ustida amallarni ko'rib chiqing. Bu erda shuni hisobga olish kerakki, musbat va manfiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallari ta'rif bilan kiritiladi va bu ta'riflarning formulalari o'quvchilarga ilgari ma'lum bo'lgan ushbu amallar tushunchalarini o'z ichiga olishi kerak.
Ayirish va bo'lish mos ravishda qo'shish va ko'paytirishning teskari amallari sifatida aniqlanadi. Bu talabalarga allaqachon ma'lum bo'lgan ushbu harakatlarning bir shakli. Ammo bu tushunchalarning, ya'ni ikkita teskari harakatning har birining doirasi juda kengaydi.
Maktab matematika kursida harakatning ta’rifi odatda qoida shaklida beriladi. Bundan tashqari, manfiy raqamlarni qo'shish qoidalari va turli xil belgilarga ega raqamlarni qo'shish qoidalari alohida berilgan. Ushbu qoidalarning matnida tegishli harakatlar, operatsiyalar bo'yicha ko'rsatmalar mavjud. Talabalar bunday harakatlarni kiritishga allaqachon o'rganib qolgan.
Большое внимание здесь следует уделить тому, как подвести к определению действия сложения. Для этого можно использовать конкретные задачи на сложение чисел с помощью координатной прямой. Но каким бы путем ни вводилось правило сложения, учащимся должно быть ясно, что рассмотрение примеров лишь иллюстрирует правило, но нс может служить его доказательством.
В ходе изучения данного материала учащиеся должны овладеть навыками выполнения операции сложения двух положительных чисел, двух отрицательных чисел, двух чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с положительными и отрицательными числами. При этом они должны твердо усвоить, что сохраняют силу все тс законы, которые имели место для положительных чисел.
Bu erda qo'shimcha harakatning ta'rifiga qanday olib borishga katta e'tibor berish kerak. Buni amalga oshirish uchun siz koordinatali chiziq yordamida raqamlarni qo'shish uchun maxsus vazifalardan foydalanishingiz mumkin. Lekin qo‘shish qoidasi qaysi usulda kiritilmasin, misollarni ko‘rib chiqish faqat qoidani ko‘rsatishini, lekin uning isboti bo‘la olmasligini o‘quvchilarga tushunib yetishi kerak.
Ushbu materialni o‘rganish jarayonida talabalar ikkita musbat son, ikkita manfiy son, belgilari har xil bo‘lgan ikkita son, qarama-qarshi sonlar, musbat va manfiy sonlar bilan nolni qo‘shish amalini bajarish malakalarini egallashlari kerak. Shu bilan birga, ular musbat raqamlarga tegishli bo'lgan barcha qonunlar o'z kuchini saqlab qolishini qat'iy tushunishlari kerak.
Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного законов, запись каждого из них с помощью букв. В справедливости этих законов, а также в целесообразности их использования для сложения нескольких положительных и отрицательных чисел учащиеся убеждаются путем рассмотрения большого числа примеров.
Вычитание отрицательных чисел, так же как и положительных, определяется как действие, обратное сложению: вычесть из числа а число b - значит найти такое число л;, которое в сумме с числом b даст число а. Однако объем этого понятия расширяется. По существу, это новое определение, которое включает ранее известное. В этом случае вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.
Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность, которая заключается в том, что учащиеся не могут отделаться от потребности в доказательстве правила знаков при умножении, а учитель не только не может дать доказательство этого правила, но должен суметь убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать. Правило знаков, которое дается в школе, является, по существу, своеобразной трактовкой определения операции умножения положительных и отрицательных чисел.
Tarjimon Bot:
Talabalarga kommutativ va assotsiativ qonunlarni shakllantirish, ularning har birini harflar yordamida yozish beriladi. Bu qonunlarning to‘g‘riligiga, shuningdek, ulardan bir nechta musbat va manfiy sonlarni qo‘shishda qo‘llash maqsadga muvofiqligiga ko‘plab misollarni ko‘rib chiqish orqali o‘quvchilar ishonch hosil qiladilar.
Manfiy sonlarni, shuningdek, musbat sonlarni ayirish qo'shishning teskarisi sifatida aniqlanadi: a sonidan b sonini ayirish shunday l raqamini topishni anglatadi; u b soni bilan birga sonni beradi. a. Biroq, bu kontseptsiyaning ko'lami kengaymoqda. Aslida, bu ilgari ma'lum bo'lganni o'z ichiga olgan yangi ta'rifdir. Bunday holda, ayirish qarama-qarshi sonni qo'shishga qisqartiriladi.
Ijobiy va manfiy raqamlarni ko'paytirish eng katta qiyinchilikni keltirib chiqaradi, bu haqiqatda Oquvchilar kopaytirishda belgilar qoidasini isbotlash zaruratidan xalos bololmaydi, oqituvchi esa bu qoidani isbotlabgina qolmay, balki oquvchilarni bunday dalilni izlash yoki talab qilish mumkin emasligiga ishontira olishi kerak. Maktabda berilgan belgilar qoidasi, mohiyatan, ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirish operatsiyasining ta'rifining o'ziga xos talqinidir.
Итак, действие умножения вводится по определению. Однако определение этого действия можно ввести по-разному. Существуют различные пути истолкования правила знаков.
Сложение и умножение положительных и отрицательных чисел имеют много общего, однако трактовка правила умножения вызывает больше трудностей.
Довольно распространено объяснение правила умножения из предварительного рассмотрения ряда конкретных задач, решение которых требует проводить вычисления по формуле вида ab. Задача рассматривается вначале для положительных значений а и b, затем когда а или b отрицательно и, наконец, когда ияи/> отрицательны. После чего дается правило умножения. Недочет такого метода не только в его громоздкости, но главным образом в том, что у учащихся создастся впечатление, даже убеждение, что они «доказывают» правило умножения. Кроме того, применение такого пуги связано и с допущением логической ошибки, ибо формула вида ab верна для а > 0 и b > 0. Но если а или b отрицательно или оба вместе отрицательны, то до введения определения произведения любых положительных и отрицательных чисел распространять формулу вида ab на эти числа нельзя.
Tarjimon Bot:
Demak, ko'paytirish amali ta'rif bilan kiritiladi. Biroq, bu harakatning ta'rifi turli yo'llar bilan kiritilishi mumkin. Belgilar qoidasini talqin qilishning turli usullari mavjud.
Ijobiy va manfiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish juda ko'p umumiy xususiyatlarga ega, ammo ko'paytirish qoidasini talqin qilish ko'proq qiyinchiliklarga olib keladi.
Ko'paytirish qoidasini bir qator aniq masalalarni oldindan ko'rib chiqishdan tushuntirish juda keng tarqalgan bo'lib, ularni hal qilish ab ko'rinishidagi formuladan foydalangan holda hisob-kitoblarni talab qiladi. Muammo birinchi navbatda a va b ning ijobiy qiymatlari uchun, keyin a yoki b manfiy bo'lganda va nihoyat u va b manfiy bo'lganda ko'rib chiqiladi. Keyin ko'paytirish qoidasi beriladi. Bu usulning nochorligi nafaqat uning og'irligi, balki asosan o'quvchilarda to'g'riligini isbotlayotganliklari haqidagi taassurot, hatto ishonch hosil qilishlaridir Ko'paytirish so'zi. Bundan tashqari, bunday pugadan foydalanish mantiqiy xato taxmini bilan ham bog'liq, chunki ab ko'rinishdagi formula a > 0 va b > 0 uchun to'g'ri. Lekin agar a yoki b manfiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'lsa, keyin har qanday musbat va manfiy sonlar mahsulotining ta'rifini kiritishdan oldin, bu raqamlar uchun ab tipidagi formulani kengaytirish mumkin emas.
Многие авторы учебной и методической литературы придерживаются догматического способа введения умножения. Сущность его состоит в том, что дастся формулировка правила умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащиеся убеждаются на конкретном материале в практической целесообразности введенного определения.
Этот способ соответствует научной трактовке определения умножения рациональных чисел, экономен в отношении времени и, как показала практика, доступен учащимся.
В учебнике математики для 6 класса Н. Я. Виленкина [4] формулировкам правила умножения чисел с разными знаками и правила умножения отрицательных чисел предшествует рассмотрение ряда примеров. При этом используется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения. Правила формулируются в удобном для использования виде.
O'quv va uslubiy adabiyotlarning ko'plab mualliflari ko'paytirishni kiritishning dogmatik usuliga rioya qilishadi. Uning mohiyati shundan iboratki, ko'paytirish qoidasining formulasi beriladi, keyin u misollar, topshiriqlar bilan tushuntiriladi. Talabalar aniq material asosida kiritilgan ta'rifning amaliy maqsadga muvofiqligiga ishonch hosil qilishadi.
Ushbu usul ratsional sonlarni ko'paytirish ta'rifining ilmiy talqiniga mos keladi, vaqt jihatidan tejamkor va amaliyot ko'rsatganidek, talabalar uchun ochiqdir.
N. Ya.Vilenkin 4 tomonidan 6-sinf uchun matematika darsligida turli xil belgilarga ega bo'lgan sonlarni ko'paytirish qoidasi va manfiy sonlarni ko'paytirish qoidasining formulalari bir qator misollarni ko'rib chiqishdan oldin berilgan. Bunday holda, agar siz omillardan birining belgisini o'zgartirsangiz, mahsulot belgisi o'zgaradi degan qoida qo'llaniladi. Qoidalar foydalanish uchun qulay shaklda tuzilgan.
С целью конкретного истолкования смысла умножения двух отрицательных чисел и умножения положительного числа на отрицательное целесообразно рассмотреть ряд задач, решение которых связано с перемещением по координатной прямой.
Необходимо обратить внимание учащихся на условие равенства произведения нулю, результат умножения на -1.
Деление положительных и отрицательных чисел рассматривается обычно как действие, обратное умножению.
Учащимся сообщается, что деление положительных и отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел, а именно, по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель. Мосле рассмотрения ряда примеров делают вывод о знаке частного и о том, как находить модуль при делении двух отрицательных чисел, двух чисел с разными знаками. Таким образом учащихся подводят к формулировке правила деления положительных и отрицательных чисел.
Ikki manfiy sonni ko'paytirish va musbat sonni manfiyga ko'paytirish ma'nosini aniq talqin qilish uchun yechimi koordinata chizig'i bo'ylab harakatlanish bilan bog'liq bo'lgan bir qator muammolarni ko'rib chiqish tavsiya etiladi.
Oquvchilar etiborini kopaytmaning nolga tenglik shartiga, -1 ga kopaytirish natijasiga qaratish kerak.
Ijobiy va manfiy sonlarning bo'linishi odatda ko'payishning teskarisi sifatida qabul qilinadi.
O’quvchilarga musbat va manfiy sonlarni bo’lish musbat sonlarni bo’lish bilan bir xil ma’noga ega ekanligi, ya’ni berilgan ko’paytmadan ikkinchi omil va omillardan biri topilishi aytiladi. Bir qator misollarni ko'rib chiqqach, ular ikki manfiy sonni, har xil belgilarga ega bo'lgan ikkita raqamni bo'lishda bo'linishning belgisi va modulni qanday topish haqida xulosa qilishadi. Shunday qilib, talabalar ijobiy va salbiy sonlarni bo'lish qoidasini shakllantirishga olib keladi.
В 6 классе в теме «Рациональные числа» продолжается изучение положительных и отрицательных чисел и вводится понятие рационального числа как числа, которое может быть записано в виде дроби. Рассматривая множество рациональных чисел, можно сделать вывод о том, что в этом множестве всегда выполнимы сложение, вычитание, умножение и деление на число, не равное нулю. При выполнении действий получаем числа того же множества, то есть это множество обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй ступени.
6-sinfda “Ratsional sonlar” mavzusida musbat va manfiy sonlarni o‘rganish davom ettirilib, ratsional son tushunchasi kasr shaklida yoziladigan son sifatida kiritiladi. Ratsional sonlar to'plamini ko'rib chiqsak, biz ushbu to'plamda nolga teng bo'lmagan sonni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish har doim amalga oshirilishi mumkin degan xulosaga kelishimiz mumkin. Harakatlarni bajarishda biz bir xil to'plamning raqamlarini olamiz, ya'ni bu to'plam birinchi va ikkinchi qadamlarning harakatlariga nisbatan yopiq bo'lish xususiyatiga ega.
Для сложения справедливы:
1) переместительный закон а + b = b + а;
2) сочетательный закон а + (Ь + с) = (а + Ь) + с;
3) а + 0 = а, то есть имеется нейтральный элемент;
4) а + (- а) = 0, то есть имеется противоположный элемент - противоположное число.
Для умножения справедливы:
1) переместительный закон ab = Ьа;
2) распределительный закон а (Ь + с) = ab + ас;
3) сочетательный закон а (Ьс) = (ab) с;
4) а ? 1 = л, то есть имеется нейтральный элемент;
5) а • (-) = 1, то есть имеется обратный элемент.
Bundan tashqari, quyidagilar to'g'ri:
1) a + b = b + a kommutativ qonuni;
2) birikma qonuni a + (b + c) = (a + b) + c;
3) a + 0 = a, ya'ni neytral element mavjud;
4) a + (- a) \u003d 0, ya'ni qarama-qarshi element mavjud - qarama-qarshi raqam.
Ko'paytirish uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:
1) kommutativ qonun ab = ba;
2) taqsimot qonuni a (b + c) = ab + ac;
3) birikma qonuni a (bc) = (ab) c;
4) a? 1 = l, ya'ni neytral element mavjud;
5) a • (-) = 1, ya'ni teskari element mavjud.
а