Методическое пособие для студентов заочного факультета Санкт-Петербург 2007

2. методы расчета и анализа электрических цепей
Основной задачей расчета электрической цепи является ее анализ, который обычно заключается в определении токов, напряжений и мощностей всех ветвей цепи. При этом предполагается, что заданы все источники э.д.с., а также электрические сопротивления и проводимости всех ветвей.
Эта задача имеет однозначное решение, которое для линейных электрических цепей может быть получено составлением и решением системы алгебраических уравнений с учетом законов Кирхгофа, Ома и Джоуля-Ленца.
Для расчета и анализа электрических цепей был разработан целый ряд методов, позволяющих значительно упростить процедуру расчета в зависимости от конфигурации электрической цепи.
В последнее время с учетом широкого использования средств вычислительной техники практически отпала необходимость выбора «рационального» метода для расчета конкретной цепи с той или иной конфигурацией.
Поэтому в дальнейшем нами будут рассмотрены только основные методы расчета и анализа электрических цепей постоянного тока, в которых источниками энергии являются источники э.д.с.^ (источники напряжения).
2.1. Метод преобразования цепей
В ряде случаев расчет сложной электрической цепи существенно упрощается, если в этой цепи группу элементов заменить одним эквивалентным элементом или эквивалентной группой элементов, в которой элементы соединены иначе, чем в заданной схеме.
Эквивалентность такой замены определяется тем, что режим работы остальной части схемы не изменится (останется прежним).
В дальнейшем будем рассматривать эквивалентные преобразования применительно к пассивным элементам электрической цепи, каковыми являются резистивные элементы (в отличие от активных элементов, которые содержат источники э.д.с.)
Последовательное соединение элементов
Последовательным называют такое соединение, при котором по каждому из соединенных элементов протекает один и тот же ток (рис. 19а). При последовательном соединении элементов условный конец первого элемента соединяется с условным началом второго, конец второго – с началом третьего и т.д.

Рис. 19
На рисунке 19б показана схема с одним резистором R_экв, которым необходимо заменить по условиям эквивалентности три последовательно включенных резистора R₁, R₂, R₃ на схеме рисунка 19а.
Применив второй закон Кирхгофа, получим:
д
(42а)
ля схемы рисунка 19а:
;
д
(42б)
ля схемы рисунка 19б:
.
Поскольку в обеих схемах должны быть одинаковыми напряжение U и ток I, то, приравняв правые части равенств (42а) и (42б) и сократив их на ток I, получим выражение для сопротивления R_экв эквивалентного резистора:
.
Для общего случая, когда последовательно включены k = n элементов, эта зависимость принимает вид:

(43)

Таким образом, эквивалентное сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме сопротивлений этих резисторов.
Определив ток последовательной цепи по закону Ома , можно рассчитать падение напряжения U_k и мощность P_k для отдельных элементов по формулам (для k-того элемента):
.
Падение напряжения на k-том элементе зависит не только от сопротивления R_k, но и от сопротивления R_экв, то есть от сопротивления других элементов цепи. В этом заключается основной недостаток последовательного соединения элементов. В предельном случае, когда сопротивление какого-либо элемента цепи становится равным бесконечности (разрыв цепи), ток во всех элементах цепи становится равным нулю.
Последовательное включение элементов применяется в тех случаях, когда рабочее напряжение элементов оказывается ниже напряжения источника энергии, в частности в схемах делителей напряжения (потенциометрах) и др.