Методические указания к изучению курса лекций по дисциплине «Теория колебаний»

Крутильные колебания прямых валов


и(х, t)

		^и \^л) V
1	о	/
V		1 *!■
1		X dx
	X

Рис. 5.1. Малые крутильные колебания прямого вала


Рассмотрим крутильные колеба­ния прямых валов (рис. 5.1, 5.2).
Примем следующие допущения: ко­лебания малые, депланация матери­альных сечений отсутствует, спра­ведлив закон Гука для сдвига.
Используя для элемента dx (см. рис. 5.2) принцип Даламбера, получим:
9M_KD(x, t) д²ф
М_кр(х, t) + dx + M(x, t)dx-M_Kр(х, t)-J₀—ydx = О
dx 8t
или

5M_KJx, /)

кр_
дх

Зчр

- J₀—У = -М(х, О- or

Рис. 5.2. Элементы вала и действующие на него силы:
М_кр — внутренний крутящий момент; J₀ — погонный массовый момент инер­ции (кг- м); ф(хД) —угол закручивания сечения стержня; M(x,t) —интенсив­ность внешнего погонного момента

Выразим крутящий момент М_кр через угол поворота ф. Для этого вы­числим угол сдвига у (рис. 5.3):

* _гдф/дх_л tgy = С——dx = t;

dx

дх

Рис. 5.3. Угол сдвига у и При малых колебаниях угол угол закручивания вала ф

Согласно закону Гука для сдвига имеем

х = Gy = GC,

<3ф
дх ’

где т — касательное напряжение; G — модуль Юнга второго рода (при кручении).
Вычислим М_кр [3, 4]:

M₄, = \^ds = \G^^d^d^ = G^\Cds = GJ_p^,
S S S
где ^ — радиальная координата; ds — элемент поверхности се­чения (рис. 5.4).



Таким образом, получено дифферен­циальное уравнение крутильных колебаний прямолинейного вала:

а/
дх {

Sep
дх

= -М(х, t).

Отметим, что дифференциальное урав­нение крутильных колебаний аналогично дифференциальному уравнению продольных колебаний стержня. Составим таблицу соот­ветствия (аналогии) элементов крутильных и продольных колебаний:


Рис. 5.4. Радиальная координата элемента поверхности сечения

Крутильные колебания	Продольные колебания
(ро, 0. рад	и(х, /), м
G, Н/м^2	Е, Н/м^2
GJpx, Н- м^2	EFX, Н
./0, КГ- м	Ро> ^кг/м
	N(x,t) = EF— дх
&^2 =^J(,(021^2	2 /2 оэ = / EF0
Метос 4>(x,t) = Yjfi(x)-s((t) 1=1	) Фурье и{х, t) = YjfI(x)-sj(t) /=1
Началънь 9(.v,0) = \|/,(*), ~(^»0) = у2(х) их	>ie условия и(х, 0) = \|/,(дг), ^•(.г,0) = ф2(.г) ОХ
Условие орт \fi(.x)fj(x)dx = 0 (i * j) 0	огоналъности \fi(x)fj(x)dx = 0 (/*/> 0

Колебания однородного вала с диском на конце
Пример
Рассмотрим колебания однородного вала с диском на конце
(Рис- 5.5).
О I Г










GJ_P, Jo

ныи погонный момент инерции,

GJ,

жесткость вала на кручение

Рис. 5.5. Колебания однород- р ного вала с диском на конце (постоянная по его длине).
Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы имеет вид

од, *2 о.

р

дх⁴

дг
^ Пусть / — длина вала, J₀ — постоян-
Согласно методу Фурье представим решение
в виде
Для форм колебаний f(x) получим дифференциальное урав­нение


(5.1)
Г + x²f = о,
где X² = -^q(£> , Х = Х1 — безразмерное собственное значение. GJ_p
Решение дифференциального уравнения (5.1) ищем в виде
/(*) = Q cos Хх + С₂ sin Хх.
Выпишем граничные усло­вия закрепления торцов вала (рис. 5.6):
/(0) = 0,
df , (5.2)
GJ_p-^~ (/) - J₀(o² f(l) = 0. дх
Из граничных условий (5.2) получаем
Q = О, => j\x) = C₂ sin Xx_y
GJ_pC{X cos XI-J₀orC₂ sin XI = 0.
Так как система не свободная, то движение ее как твердого те­ла невозможно. Поэтому С₂ ф 0, X Ф 0. Следовательно,
GJ_pXl
У₀со²/
Введем безразмерный параметр у:

GJ У₀со²/ ’
GJ_р "| _ Н • м² • с² _ кг* м³ • с² J₀co²/[j кгм²м кгм³с²
Итак, трансцендентное уравнение для определения X = со име­ет вид
y!=tgL (5.3)



Рис. 5.7. Графическое решение трансцендентного
уравнения (5.3)
Графическое решение этого уравнения представлено на рис. 5.7.
Для численного решения этого уравнения можно рекомендо­вать метод половинного деления [4].
Контрольные вопросы

1. 
   Что такое частота колебаний?
   
2. 
   Что такое период колебаний?
   
3. 
   Дайте определение свободных колебаний.
   
4. 
   Что такое форма собственных колебаний?
   
5. 
   Охарактеризуйте дифференциальные уравнения продольных колебаний однородного стержня.
   
6. 
   Что такое трансцендентное уравнение для определения соб­ственных значений краевой задачи?
   
7. 
   Опишите метод решения трансцендентного уравнения для определения собственных значений краевой задачи.
   

Литература

1. 
   Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: КомКнига, 2006. 439 с.
   
2. 
   Пожалостин А.А., Паншина А.В. Применение принципов класси­ческой механики к динамике упругого тела. Современные проблемы ме­ханики и ее преподавания в вузах. Доклады IV Всероссийского совеща­ния-семинара заведующих кафедрами и ведущих преподавателей теоре­тической механики вузов Российской Федерации. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. С.194-197.
   
3. 
   Бабаков ИМ. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 592 с.
   
4. 
   Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. СПб.: Лань, 2005. 438 с.
   

Содержание

к dq, 10
Щ r₌i 13
/ = о, 14
Л/+ь)М = о- 18
а/ 29

Учебное издание
Пожалостин Алексей Алексеевич
Паншина Алла Викторовна
Продольные и крутильные колебания
однородных стержней и валов
Редактор Л. В. Сивай
Корректор Е.В. Николаева
Компьютерная графика О.В. Левашовой
Художник Я.М. Ильина
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
В оформлении использованы шрифты
Студии Артемия Лебедева.
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Подписано в печать 09.02.2016. Формат 60 ^х 90/16.
Уел. печ. л. 2,25. Тираж 100 окз. Изд. № 517-2016. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
e-mail: [e-mail]
www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
e-mail: [e-mail]

2 0 16