Методические указания к изучению курса лекций по дисциплине «Теория колебаний»

Решение краевой задачи о свободных продольных
колебаниях однородной консоли


Но, EF₀ u(x,t)

		И V*,
i	О	l
		1
i		л /7777 . ^dX
	X

Рис. 3.1. Малые свободные продольные колебания консоли


Продолжим рассмотрение малых свободных продольных колебаний прямого однородного стержня (кон­соли) (рис. 3.1).
Граничные условия закрепления торцов стержня: м(0, t) = 0, так как
левый торец защемлен, N(I, t) = О,
так как правый торец свободен и нор­мальные напряжения равны нулю. Поскольку u(x,t) = /(х)• s(t), то
Ри
N(x, t) = EF₀ — = EF₀f'(x)s(t).
дх
Следовательно, так как s(t) * 0, то получим
/(0) = 0, /(* = 0 = 0.
ах
Окончательно имеем граничные условия для функции/:


(3.1)
/(0) = 0, /(/) = 0,
Уравнение для формы колебаний /(х):
f + X²f = 0.
Решение этого уравнения имеет вид
f{x) = Cj cos Хх + С₂ sin Хх.
Постоянные интегрирования С,,С₂ определяем из граничных условий (3.1):
/(0) = 0 => С,-1 + 0 = 0, С, =0 => f(x) = C₂ sinXx,
/'(0 = 0 ^ ХС₂ cos А,/ = 0.
Поскольку С₂ * О и X Ф О (закрепленная система), получим трансцендентное уравнение
cos XV = 0.
Из него находим решение для X = X/.
Это трансцендентное уравнение имеет бесконечное множество решений:

Х_; =
i = h 2,
где / — числа натурального ряда.
^ ~ ₇ я/(2/-1) . , _
Отсюда со, = X,/ = , I = 1, 2,....
Таким образом, рассматриваемая система имеет бесконечное множество собственных значений X, и, соответственно, бесконеч­ное количество частот собственных колебаний:




Цо

со, =

£7^ 1 7г(2/ — 1)

|Ыо ¹ V Но I
• /²со,² = Xf
т, & ~ ^{п EF}0
Частота первого тона колеоании равна С0| = — —
2/V Но
Отметим для себя следующее обстоятельство: форма свобод­ных колебаний определяется с точностью до произвольного мно­жителя.
Форма свободного колебания (собственная форма) — функция распределения перемещения /-го колебания по длине стержня (координате х). Собственная форма зависит только от устройства системы и не зависит от начальных условий:


пх (2/ — 1)
f(x) = С₂ sin Х,х = С₂ sin




ш
1

Рис. 3.2. Форма колебаний 1 -го тона

Форма 1-го тона колебаний показа­на на рис. 3.2.
Форма колебания при х = 0 равна О, а при х = I равна 1. Следует отметить, что касательная к кривой f{x)
в точке х = 1 горизонтальна, что соот­ветствует равенству нулю продольной
силы N(x,t).

Форма 2-го тона

колебаний
На рис. 3.3 представлена фор­ма колебаний 2-го тона.
Форма колебаний 2-го тона имеет узел (точка А). В этой точке форма колебания равна нулю, сле­довательно, перемещение сечения по 2-му тону колебаний в точке А
2 Л
равно нулю.
Итак, перемещение и(х, t) рав- Рис. 3.3.
но оесконечнои сумме частных ре­шений дифференциального уравнения продольных колебаний:
и(х, 0 = £/(*)■ */(О-
1=1
Функция s_f(t) — временная функция, она имеет вид
Sj (t) = Ац cos со,t + A_2i sin со,У .
Для того чтобы найти неопределенные константы А_и и Л_2/,


при i Ф у, при i = j.
необходимо удовлетворить начальным условиям (2.1) в лекции 2, при этом используются условия ортогональности форм собствен­ных колебаний, т. е.
Здесь у — весовой множитель, в данном случае у = Цо> ^или можно принять у = 1; Ц /-Ц —норма функции /.
Докажем условие ортогональности форм собственных колеба­ний. Дифференциальное уравнение для /-й формы колебаний [ имеет вид
/r+tif = 0.
Умножим его на функцию /):







(3.2)
(3.3)
В уравнении (3.2) поменяем местами индексы / и j:
Л/+ь)М = о-
Вычтем из уравнения (3.2) уравнение (3.3) и получим:
Проинтегрируем полученное выражение по х в пределах от 0 до /:
(3.4)
В правой части интегрируем по частям, введя следующие обо­значения:
dx fj = dv, f = и, v = f'j, dx = du. В результате правая часть выражения (3.4) равна:
(Она равна нулю для однородных граничных условий, в частности для консоли.)
Итак, выражение (3.4) примет вид
i
о
/
=> при Xj ф Xj \Zfjdx = 0 (/ Ф j). (3.5)
о
Полученное равенство — условие ортогональности форм соб­ственных колебаний системы.
Остановимся теперь на механическом представлении условий ортогональности форм собственных колебаний. Для этого умно­жим первый сомножитель в (3.5) под знаком интеграла на функ­цию ц₀5(0» ^а второй — на Sj(t):
/
\vofSifjSjdx = 0. (3.6)
О
Тогда условие ортогональности можно интерпретировать сле­дующим образом: работа сил инерции /-го тона на перемещении стержня /-го тона равна нулю. Это условие представляет собой также некоторый аналог принципа взаимности работ Бетти в со­противлении материалов.
Удовлетворим также с учетом (3.6) начальным условиям и определим все величины А_и, A_2i (/=1,2, ...).
Таким образом,
00
и(х, t) = V Z( A_U cos (яjt + A_2i sin со, 7).
i=i
Из первого начального условия имеем:
ф(*) = £/А-
7=1
Умножим обе части этого равенства на функцию /у и проин­тегрируем от 0 до /:

к dq, 10
Щ r₌i 13
/ = о, 14
Л/+ь)М = о- 18
а/ 29

Все остальные слагаемые этого бесконечного ряда с учетом (3.5) равны нулю, так как граничные однородные условия закрепления концов стержня таковы, что на левом конце стержня либо /. (0) = О,
либо fj{0) = 0. А также и для правого конца стержня (при х = /) ли­бо /;(/) = 0, либо fj(l) = 0.
Поэтому первая постоянная имеет вид
/
{ /_у(х)ф(х)с/х
Д,=Ь * 7 = 12,....
]"//(*¥*
о
Аналогично из второго начального условия имеем:
1=1
Умножим обе части этого равенства на функцию /. (х) и про­интегрируем от 0 до /:

к dq, 10
Щ r₌i 13
/ = о, 14
Л/+ь)М = о- 18
а/ 29

И вторая постоянная номера / имеет вид
/
A₂j=^—i , 7 = Ь2,....
СО j j /² (х) с/х о
Итак, получено точное (аналитическое) решение краевой зада­чи о свободных продольных колебаниях однородной консоли.
Лекция 4. Вынужденные продольные колебания
Вынужденными колебаниями будем называть колебания, про­исходящие в системе от действия внешних периодических возму­щающих сил.
Возбуждение колебаний консоли ог действия возмущающей
сосредоточенной силы
Рассмотрим вынужденные продольные колебания однородной консоли (рис. 4.1) от действия сосредоточенной силы, изменяю­щейся по гармоническому закону от времени. Найдем аналитиче­ское решение.
Пусть погонная масса в сечении х постоянна, т. е. ц_х =- |д₀, площадь ссчсния — постоянна: F_x = F₀.
Пусть на свободный конец консоли действует горизонтальная сила, зависящая от времени и изменяющаяся по гармоническому закону G(t) = G₀ cos pt.
EF₀





АО

/7777

X

dx

G(t)= Go cos pt
1