Методические указания к изучению курса лекций по дисциплине «Теория колебаний»

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах на плоскости имеют вид
mx = Y_J^Fkx, ™y = Yj^Fkr
k k
Начальные условия имеют вид при t = 0:
x(0) = x₀, у(0) = у₍₎, x(0) = i₀, у(0) = у₍₎.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях на плоскости имеют вид
ms = Y^F_kx, m — = YF_kn.
А Р А
Начальные условия: при t = О:
.s(0) = s_(b i(0) = s₀.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в полярных координатах:
т (г ~ г<р²) = X ^Fkr, «Ф'Ф + 2гф) = ^ ^Fkp ■
к к
Начальные условия: при ? = 0:
г(0) = 7<), ф(0) = ср₀, г(0) = г_о, Ф(0) = ф₀.
Количество движения системы материальных точек Щ (k = l,...,N):
Q = Yj ^т^к ^или Q = ^mVc,
к
где т = I т_к.
к
Теорема об изменении количества движения системы имеет
вид
dt t ‘
где — вектор внешней для системы силы.
Попутно отметим, что главный вектор системы внутренних сил
д^(,)=£ щъ = °.
А'
Теорема о движении центра масс системы имеет вид
та_с = X /*^е) ■
к
Здесь а_с = г_с, где радиус-вектор центра масс С системы
определяется соотношением

Начальные условия: при / = 0:

^ГС (0) = ^гс_{) > г_с{0) = г_Сй.
Кинетический момент системы материальных точек относи­тельно неподвижного центра О:
К о =^r_kxni_tv_k.
к
Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвиж­ной оси Oz:
K_Qz - Joz^z*
где J_Qz = J_cу -f md² — момент инерции тела относительно оси Oz; J_Cz — момент инерции тела относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С; т — масса тела; d — расстояние между осями.
Теорема об изменении кинетического момента К₀ имеет вид
Здесь M₀(F_k^{e)) момент к-й силы относительно центра О.
Проецируя это уравнение на ось Oz, получим:
Начальные условия: при t = О:
ф(0) = ф₀, ф(0) = ф₀.
Кинетический момент при сложном движении системы:
K₀ = r_cx mv_c +
где v_c — абсолютная скорость центра масс; — кинетический момент системы относительно центра масс С, т. е. относительно системы отсчета, связанной с центром масс и движущейся посту­пательно.
Теорема об изменении кинетического момента относительно центра масс имеет вид
с1К^{р
dt
Принцип Даламбера для системы материальных точек:
F_k + R_k+Ф_к = 0 (к = 1,..., jV),
где F_k — активная сила, приложенная к к-й материальной точке системы; R_k — реакция связи; Ф_А. =-т_ка_к — сила инерции Да­ламбера /с-й материальной точки системы.
N
ф = ^Ф_к = -та_с — главный вектор сил инерции точек си-
к=1
стемы.
Следствия из принципа Даламбера:
к к к
2)£м_о(^.ДА) = 0.
к
Вектор А/₀(Ofr) = Ln — главный момент сил инерции то-
к
чек системы относительно неподвижного центра О.



Т\и)
Ч)

clKo
dt
Имеет место соотношение:
В подвижной системе отсчета относительно центра масс С

ТТм) _ Ч) -
dK\
at
Принцип Даламбера — Лагранжа (общее уравнение динами­ки) [1,2] имеет вид
Здесь первое слагаемое — возможная работа активных сил на возможном перемещении системы {Ь7_к , k-1,..., N}. Второе слага­емое — возможная работа реакций связей на возможном переме­щении системы, третье слагаемое — возможная работа сил инер­ции на возможном перемещении системы.
Имеет место формула
£ Ф_к ■ 8г_к = Ф • v_cdf + • оЗ dt*,
к
где dt* — мыслимый дифференциал времени.
Принцип возможных перемещений Лагранжа. В случае идеаль­ных связей, когда ^ R_k • Ьг_к = 0, имеем необходимое и достаточное
к
условие равновесия механической системы:
1Д-5*=0.
к






dt

5Г
\dcii )

дТ_
дЦг

= Q

(i — !>•••» п),
Удобным способом составления дифференциальных уравнений движения систем с голономными связями являются уравнения Ла­гранжа II рода:
где <7, — /-я обобщенная координата системы; п— число степе­ней свободы системы; Т — кинетическая энергия системы в абсо-
— дТ
лютном движении; Q=J\F_k—- — обобщенная сила, соответ-
к dq,
ствующая /-й обобщенной координате.
Наиболее общим способом составления дифференциальных уравнений движения систем и установления естественных гранич­ных условий является принцип Гамильтона:
'2
(Г-П) dt = О,
/1
¹2
где 8 — символ первой вариации функционала J (T-Tl)dt, П —
/1
потенциальная энергия системы.
Принцип выводится на основании гипотез классической меха­ники Ньютона и справедлив для систем, имеющих различную фи­зическую природу.
Лекция 2. Колебания систем с распределенными
параметрами
Рассмотрим малые колебания механических систем с распре­деленными параметрами относительно положения устойчивого равновесия. Каждый элемент системы обладает свойствами как инерции, так и упругости. В качестве таких систем рассмотрены одномерные системы: стержни, валы, балки.
Основные доп)'щения
Материал, из которого изготовлены тела, подчиняется закону Гука: а = г£, где Е — модуль Юнга 1-го рода; г —деформация; а — напряжение в материале.
Материал однороден и изотропен, т. е. свойства образцов, вы­резанных в теле, не зависят от направления, по которому вырезан образец.
Стержень — это тело, размеры которого в поперечном направ­лении существенно меньше его длины.

Справедлива гипотеза сплошности, т. е. система колеблется без разрывов.
Пусть u(x₉t) — перемещение материального сечения стержня в продольном направлении. Оно зависит как от координаты х (ме­ста материального сечения в равновесном состоянии), так и от времени t. Тогда скорость этого сечения определяется соотноше­нием
du ди ди .
v_v = — = — н х.
dt dt дх
В нашем случае можно пренебречь слагаемым —х₉и поэтому
дх
du ди

^Vx ⁼
dt dt
d²u д²ы
Ускорение определяется выражением а_х = = уу.
Дифференциальное уравнение малых продольных
колебаний и его решение





Рис. 2.1. Малые продольные
колебания стержня

и(х, О


/

х
Выведем дифференциальное уравнение малых продольных ко­лебаний прямого стержня (рис. 2.1).
Рассмотрим перемещение u(x + dx, t) = u(x, t) + — dx.
dx
Относительная деформация элемента dx стержня:

8 =
и(х + dx₉ t) - и(х₉1) ди

dx
дх
Тогда напряжение а(х, t) равно ст -Е —.
дх
Сила растяжения (сжатия) удовлетворяет равенству:
И
ди dx ’

N = <5 F₀
где F₀ — площадь поперечного сечения стержня.



Рис. 2.2. Элемент стержня и действующие на него силы:
, д²и
\х_хах — масса элемента dx; p_vax—— — сила инерции элемента; |Т_Х — по-
дг
тонная масса в сечении х; q(x,t) —интенсивность внешней нагрузки
Выделим элемент стержня dx, изобразим действующие на элемент силы и применим к нему принцип Даламбера (рис. 2.2).
Разложим в ряд по степеням dx продольную силу на правом конце элемента:
8N
N(x+ dx, t) = N(x, 0 + — (x, t)dx +...
dx
Ограничимся членами не выше первого порядка малости.
Применяя принцип Даламбера, спроецируем на ось х все си­лы, действующие на элемент:
8М д²и
-N(x, t)+N(x, t) + (х, t)dx+q(x, t)dx-\x_xdx—- = 0=>

к dq, 10
Щ r₌i 13
/ = о, 14
Л/+ь)М = о- 18
а/ 29

Полученное уравнение — линейное неоднородное дифферен­циальное уравнение второго порядка в частных производных. Это уравнение вынужденных колебаний с переменными коэффициен­тами. Аналитическое точное решение задачи о продольных коле­баниях стержня возможно только для однородного стержня.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет





















dN

д²и

(х, 0-ц_х—_т = 0.

^x8t²

Сформулируем теперь граничные условия, например, для кон­троля:
//(О, /) = 0, так как левый торец защемлен;
N(1,0 = 0, так как правый торец свободен и нормальные
напряжения равны нулю.
Кроме этого, надо задать начальные условия: при t = 0:

и(х, 0) = ф(х), ^-(х, 0) = v|/(x).
ct

(2.1)

Решение поставленной краевой задачи и(х, /) должно удовле­творять как начальным, так и граничным условиям.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний однород­ного стержня будет следующим:

_пг, д²и д²и Щ)— -Но — = °-

(2.2)

дх² 8t²
Ищем решение u(x,t)#0 (нетривиальное решение) по методу Фурье в виде произведения двух функций u(x,t) = f(x)- s(t). Под­ставив его в выражение (2.2), получим:
S²/

Щ —ГГ s(t) = Hof(x) S(t)

дх⁴

или

EF₀

Но

fs = fs,

где f" = df/dx.
Разделив обе части равенства на произведение /• s, получим:
Щ r₌i
Во / S

(2.3)

В равенстве (2.3) левая часть равна частному от деления вто­рой производной от функции х на саму функцию, а правая часть равна частному от деления второй производной по времени от
вид
функции только времени t. Такое равенство возможно только в том случае, когда обе дроби равны константе. Обозначим эту кон­станту через ±оо². Знак + соответствует только тривиальному ре­шению и потому должен быть отброшен. Нетривиальному реше­нию соответствует константа -со².



Е^Г
Ро /


S
Итак, имеем два уравнения:



ц₀со²

s +m²s = 0.

/ = о,
Уравнение для функции f(x) (формы колебаний) имеет вид
а для функции s(/) —
Введем обозначение X² = ^°^Ш . Тогда получим уравнение
EF₀
Г + x²f = о.
Отметим, что размерность [А,] = —, XI = X — безразмерная ве-
м





2/2

Введем обозначение XI - со. Тогда

EF,

= ог — безразмер­
личина и является собственным значением краевой задачи.
ная собственная частота системы (безразмерная частота свободных колебаний).
Решения полученных дифференциальных уравнений имеют
вид
/(х) = С, cos Ах + С₂ sin Хх,
s(t) = 4 cos со / + А₂ sin со t,
и(х, t) = f(x)- s(t).
Постоянные интегрирования С\. С₂ находятся из граничных условий, а постоянные интегрирования A_h А₂ — из начальных условий (2.1).
Лекция 3. Колебания систем с распределенными
параметрами