Методические указания к изучению курса лекций по дисциплине «Теория колебаний»

Рис. 4.1. Малые вынужденные продольные колебания
консоли от действия гармонической силы
Сформулируем граничные условия неоднородной краевой за­дачи:



^(/, t) = G(t).
ОХ

(4.1)
и(0, t) = 0 (так как левый торец защемлен),



^EF° It ^{/'^l)


Рис. 4.2. Элемент консоли и действующие на него силы
На рис. 4.2 изображен элемент стержня dx, соответствующий х = /.
Будем искать вынужденные коле­бания системы в виде
и(х, t) = Х(х)• cos pt. (4.2)
С учетом (4.2) из граничных условий (4.1) получим граничные условия для формы вынужденных колебаний Х(х) :

Х(0) = 0,
EF₀ -y-(l) = G₍₎. dx

ИЛИ

д^ги

д²и

m-ju, о-м.^г=о.

(4.3)

После подстановки решения (4.2) в уравнение (4.3) получим:
FF₀ X" cos pt + р ₀р* X cos pt = О
EF_{)X" + \i_{)p²X = 0.
Отсюда окончательно получим уравнение

Х" + 1²_рХ = 0.

(4.4)

В отличие от уравнения для формы собственного колебания
,, ,₂ (¹0«² л 2 IW²
в этом уравнении имеем коэффициент не к = , а =
Щ
т. е. этот коэффициент полностью определен.
Решение уравнения (4.4) имеет вид
X(х) = Cj cos Х_рх + С₂ sin Х_рх.
Удовлетворим первому граничному условию:
2Г(0) = 0 => С, =0.
Тогда получим
Х(х) = С₂ sin Х_рх.
Удовлетворим второму граничному условию:
EF₀ — (l) = G₀=> EF₀C₂X cos X I = G₀=> C₂ = dx
Выпишем полученное решение:

EF_n

(4.5)

Gr

EF₍₎X_p cos X_pl

uJx, t) =

G₀

EF₀X_p cos A,_pl

■ cos pt.

(4.6)

Система имеет бесконечное множество резонансов при значе­ниях
Следует отметить, что выражение в знаменателе решения (4.6) для вынужденных колебаний представляет собой частотное урав­нение для собственных колебаний исходной системы.
Возбуждение колебаний консоли от заданного гармонического
перемещения свободного конца


u(x_yt)

Рис. 4.3. Малые вынужденные колебания консоли от гармонического перемещения ее свободного конца
Рассмотрим вынужденные продольные колебания однородной консоли (рис. 4.3) от заданного гармонического перемещения ее свободного конца.
«(/,/)= Wq COS pi
Как и ранее, погонная масса в сечении х постоянна, т. е. \х_х = р₀, площадь сечения не изменяется: F_x = F₀.
Пусть задано перемещение правого конца стержня, т. е. мате­риального сечения стержня при х = I:
ц(/, t) = щ cos pt.




и(о, 0 = 0, и(1, 0 = w₀ cos pt.

(4.7)

(4.8)
Выпишем в этом случае граничные условия:
Как и в предыдущем случае, граничные условия неоднородны. Дифференциальное уравнение движения стержня имеет вид
Будем искать его решение в виде
и(х₉ t) = Х(х)- cos pt. (4.9)
Тогда для формы вынужденных колебаний стержня — функ­ции Х(х) получим дифференциальное уравнение
Х" + 1²_РХ = 0. (4.10)
„ л 2 Цо Р²
Как и раньше к_р = ^ , где р — частота вынуждающего пе­ремещения.
Решение дифференциального уравнения (4.10):
X(х) = С) cos Х_рх + С₂ sin Х_рх.
Константы Cj и С₂ определим из граничных условий (4.7), (4.8) с учетом (4.9).
Из условия (4.7) (условия закрепления левого конца) получим:
и{0, 0 = 0 => Cj =0 ^ Х(х) =
= С₂ sin Х_рх => и(х, 0 = С₂ sin Х_рх• cos pt.
Из граничного условия (4.8) получим:
и{1, 0 = ^cos pt => w₀ = С₂ sin X / =^> С₂ = ———.
sinX^/
Итак, получено решение (4.9):
w(x, /) = ———sinX.,x- cos/?/. sinX_p/
Интенсивность распределенной нагрузки q вдоль длины
стержня изменяется с течением времени по гармоническому зако­ну, а по координате х — по некоторому произвольному закону:
q(x_y t) = G(x)* cos pt.
Дифференциальное уравнение движения стержня с учетом распределенной нагрузки имеет вид
_гг 8²и с²и
Щ —г - ц„ —г = G(x) ■ cos pt.
OX Ct
Выпишем граничные условия:


си
м(0, 0 = 0, EF₀—(l,t) = 0.
ОХ
Пусть и(х, t) = Х(х)’ cos pt. Тогда граничные условия удовле­творяют соотношениям:
Х(0) = 0, Х'{1) = 0.
Дифференциальное уравнение для формы вынужденных коле­баний становится неоднородным дифференциальным уравнением:
EF₀X"(x) + ii₀p²X(x) = G(x)
ИЛИ


(4.11)
Х"(х) + Х²_рХ(х) =
Ищем решение Х(х) методом вариации произвольных посто­янных [1, 3, 4]:
X (х) = а(х) cos Х_рх + Ь(х) sin Х_;)х. (4.12)
Зададим дополнительное условие (оно может быть выбрано произвольно):
a'(.x)(x)s?i_;,x + 6'(x)sinX_px = 0. (4.13)
Вычислим производные: dX
-j- = X' = -Х_ра sin Х_рх + X_pb cos Х_рх, d²X
—— = X^м = -Х_па s\n'k_nx + 'k„b' cosX„x- с/х² ' ^{1 1 1}
- Х²а cos X „х - Xib sin X „х.
Подставим Х(х) и Х"(х) в уравнение (4.11) и после преобра­зований получим:
-X_pa' sin Х_рх + Х_рУ cos Х_рх = G(x).
Добавим дополнительное условие (4.13) и запишем систему уравнений для определения функций я и Ь:
Г -X_nd sin X_пх + X _пУ cos X _nx = G(x),
^p . (4.14)
a cosXpX + b^r sin X_px = 0.
Умножим второе уравнение в (4.14) на Х_р sinX_px₉ а первое — на cosA._/;x. Просуммировав полученные уравнения, получим:
X _пУ = G(x) cos X „х => — = — G(x) cos X _nx.
' ' dx X_p ^p
Отсюда


x■ dx.
b(x) =
Теперь в системе уравнений (4.14) второе уравнение умножим на Х_р cosX_px, а первое — на sin А.,,„г и вычтем из второго уравне­ния первое. Тогда
Х_ра' = -G(*)sin Х_рх => — = —— G(;t)sinA,„;c.
dx Х_р



Ф) =

х■ dx.
Следовательно,
Подставим найденные функции а(х) и Ь(х) в исходное выра­жение (4.12) для Х(х):
1 г
Х(х) = Г G'(x)sin ХрХ- cos ХрХ- dт +
^Хр о
1 *


Р о
+ — | G(t)cos^_/;t- sin Х_рх• dx.
1 ^Y
Х(х) = —J G(x)sin>._p(x-T)^T. о
Следует помнить о граничных условиях:
А'(О) = О, Х'(1) = 0.
В этом случае приходится дифференцировать интеграл с пере­менным верхним пределом:
X(х) = Х_олн + X*, Х_оди = Q cos X _рх + С₂ sin X „х,
где Q = 0, X^f = С₂Х_р cos Х_рх + — (X*)'


Х=1
Лекция 5. Крутильные колебания