Закон гука. Модуль сдвига. Условие прочности при сдвиге

СДВИГ. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ СДВИГЕ. ЗАКОН ГУКА. МОДУЛЬ СДВИГА. УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ СДВИГЕ
Сдвиг вызывается действиями двух равных, очень близко расположенных друг к другу сил, направленных в противоположные стороны
(рис. 3.1), которые вызывают явление среза, что наблюдается в заклепочных, болтовых и сварных соединениях.
При срезе возникают угловые деформации, так называемые сдвиги. Они характеризуются искажением прямого угла между двумя взаимно перпендикулярными волокнами, взятыми в недеформированном теле (рис. 3.2). Абсолютный сдвиг элементарного отрезка CD относительно BE, отстоящего на малом расстоянии h, будет ССj = а. Относительным
сдвигом называется отношение а / И. Так как деформации весьма малы, имеем

где у - угол сдвига.

Рис. 3.1. Явление среза

Рис. 3.2. Угловая деформация - сдвиг
Поперечная сила Q_x, возникающая в сечении, представляет собой равнодействующую касательных напряжений среза Т_ху. Приближенно можно считать, что напряжения распределяются по сечению равномерно, т.е. Т_ху = const. Равнодействующая сила Q_y

где А - площадь поперечного сечения.
В известных пределах, зависящих от свойств материала, между углом сдвига и соответствующим касательным напряжением существует прямая пропорциональность - закон Гука при сдвиге:

где G - упругая постоянная материала, характеризующая его жесткость при деформации сдвига и называемая модулем сдвига, или моделем 2-го рода.
В общем виде соотношение между модулем сдвига G, модулем упругости первого рода Е и коэффициентом Пуассона V выражается формулой

Значение коэффициента Пуассона лежит в пределах 0 < V < 0,5. Следовательно, модуль сдвига составляет 0,33...0,5 от модуля продольной упругости. Для многих металлов и сплавов G ~ 0,4Е; для стали G = 8,0-10⁴ МПа.
Q а
С учетом того что Т = —, у = —, закон Гука при сдвиге можно за- Л h
писать в виде 
Величина абсолютного сдвига пропорциональна сдвигающей силе и расстоянию, на котором происходит сдвиг, и обратно пропорциональна площади сечения.
Произведение GA называется жесткостью сечения при сдвиге. Условие прочности элементов, работающих на срез, имеет вид

где 1_adm - допускаемое напряжение на срез, принимаемое как часть допускаемого напряжения 1_adm = (0,5.. .0,8)c^_w - для пластичных материалов и T_adm = (0,7...1,0)g^_w - для хрупких материалов.
При передаче усилий от одной детали конструкции к другой в зоне их соприкосновения (контакта) возникают высокие контактные напряжения, и прочность поверхностных слоев материалов может оказаться недостаточной, поэтому необходимо производить соответствующие расчеты на смятие и контактную прочность.
Соприкасающиеся элементы конструкций на смятие проверяют по уравнению

где F - сила взаимодействия между деталями, нормальная к поверхности их контакта; А_соп - расчетная площадь смятия; о'_соп - допускаемое напряжение на смятие, зависящее от материалов рассчитываемых деталей и условий их работы (&_сш = 1,5&_adm).
Пример 3.1. Двутавровая балка № 30 опирается на кирпичную стену и передаст на нее нагрузку F = 50 кН (рис. 3.3). Определить требуемую длину а выступа, если допускаемое напряжение на смятие для кирпичной кладки &_со„ = 0,6 Н/мм².
По формуле (3.2) требуемая площадь соприкосновения балки со стеной 
Решение
По ГОСТ 8239-72 находим ширину профиля балки Ь = 135 мм, но
, _t А_со„ 8,33-10⁴ „„
— я®, следовательно, а = —— =-= о 1 / мм.
^со" b 135
Пример 3.2. Стальной болт (рис. 3.4) нагружен растягивающей силой F= 120 кН. Определить его диаметр d и высоту головки h, если допускаемые напряжения o[_lcj_m = 120 Н/мм², Т_adm = 60 Н/мм².
Решение
Определим диаметр болта из условия прочности на растяжение по формуле  откуда

Рис. 3.3. К примеру 3.1

Рис. 3.4. К примеру 3.2
откуда
С некоторым округлением принимаем d = 36 мм. Головка болта может срезаться по цилиндрической поверхности, условно отмеченной на рис. 3.4 волнистыми линиями. Площадь этой поверхности А,- = ndh. По условию прочности

Округляя, принимаем h = 18 мм.