План: Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения

Определение линейное перемещение. Потенциальное энергии деформации


План:

1. 
   Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения  
   

2.Обобщённые силы и обобщенные перемещения
3.Работа внешних сил. Теорема Клапейрона

Любая конструкция под действием приложенных внешних нагрузок изменяет в той или иной степени свою форму и размеры – деформируется. Для проверки жесткости и устойчивости конструкции необходимо уметь определять перемещения, вызванные деформацией ее элементов. Кроме того, определение перемещений конструкции является важнейшей вспомогательной задачей при расчете статически неопределимых систем.

Перемещение – векторная величина. Перемещение любой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. Например, вектор перемещения   точки А рамы в точку А¢) определяется через его модуль  и угол (направление)  (рис. 12.1,б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие  и  вектора перемещения  :


Поступательные перемещения  будем называть линейными перемещениями, а  – угловым перемещением.

Рис. 1
Методы определения этих перемещений весьма разнообразны. Они отличаются друг от друга главным образом степенью сложности и областью применения.
Исторически первым предложенным методом определения перемещений можно считать метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки. Однако в случае балок с большим количеством участков реализация этого метода сопряжена со значительными трудностями, которые заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования – составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений.
Если по условиям нагружения балка разбивается на n участков, то задача становится очень трудоемкой уже при n=3. Для уменьшения большого объема вычислительной работы, связанной с определением произвольных постоянных интегрирования, разработан ряд методов, из которых, прежде всего, отметим метод начальных параметров, позволяющий при любом числе участков свести решение к отысканию только двух постоянных – прогиба и угла поворота в начале координат.
Указанные методы, как и некоторые другие, носят частный характер. С некоторой натяжкой их можно признать удобными при решении ограниченного круга простейших задач.
Кроме аналитических методов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существуют более общие методы, пригодные для определения перемещений в любых упругих конструкциях (например, метод Мора, иногда говорят Максвелла-Мора. Эти методы основаны на двух основных принципах механики: законе сохранения энергии и начале возможных перемещений.
Прежде чем перейти к изложению метода, остановимся на его основных теоретических предпосылках.
Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения 
При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой. Потенциальной будем называть такой вид энергии, который накапливается в теле при его упругих деформациях. При нагружении стержня внешними силами часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень с помощью малых грузов dP 1), то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки будет опускаться и ее потенциальная энергия будет уменьшаться, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличиваться.

Рис.2
Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке. Такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.
Будем называть “статической” такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т.е. скорость остается постоянной и ускорение отсутствует.
При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере.
Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.
Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившийся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.
Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформаций через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок через U_p. Тогда величина U_p измеряется положительной работой этих нагрузок A_p; с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, межчастичных сил W, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.
Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

Заменяя в этой формуле величины U_p  и U численно равными им значениями работ A_p  и -W, получаем иную формулировку этого закона:

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым “началом” или “принципом” возможных перемещений в применении к упругим системам. Равенство (2) выражает ту мысль, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.
Таким образом, принцип возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.
Из формулы (1) следует, что потенциальная энергия деформации U численно равна работе внешних сил A_p, проделанной ими при этой деформации:

Обобщённые силы и обобщенные перемещения
Прежде, чем перейти к вычислению работы внешних сил, а через нее к потенциальной энергии деформации, введем понятие обобщенной силы и обобщенной координаты.
В задачах сопротивления материалов и строительной механики внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно представляет собой группы сил. Выражение для работы группы постоянных сил можно представить в виде произведения двух величин:

в котором множитель P зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а   зависит от перемещений и называется обобщенным перемещением или обобщенной координатой.
Таким образом, под обобщенной силой следует понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную нагрузку), вызывающую соответствующее нагрузке перемещение. Обобщенной координатой будем называть перемещение, соответствующее этой силе.
“Соответствие” заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы. Для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы – прогиб, удлинение, для пары сил – это угол поворота сечения по направлению действия пары.
На рис.12.2, б,в,г обобщёнными силами будут две силы Р, два момента m, распределённая нагрузка q.