План: Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения

теоремы Клапейрона: действительная работа при статическом действии силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения.
В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил  работа деформации равна половине суммы произведения окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего обобщенного перемещения:

Вычисление потенциальной энергии деформации. Определение перемещений при непосредственном использовании потенциальной энергии
Из выражения (3) следует, что потенциальная энергия деформации численно равняется работе внешних сил на вызванных ими перемещениях и, следовательно, может быть вычислена с учетом теоремы Клапейрона из выражения:

где P - обобщенная сила;  - соответствующая ей обобщенная координата.
Вычислим потенциальную энергию для некоторых видов деформации, используя выражение (9).
При статическом растяжении и сжатии стержня силами P величина работы  , а, следовательно, и величина потенциальной энергии U равняется:

Здесь: N - продольная сила;  - абсолютное удлинение стержня; E - модуль упругости первого рода; A - площадь поперечного сечения стержня; l - длина стержня.
В случае сдвига

Здесь: Q - поперечная сила; a - размер поперечного сечения;  - величина абсолютного сдвига; G - модуль упругости второго рода, модуль сдвига; A - площадь поперечного сечения.
При кручении

Здесь:  - крутящий момент;  - угол закручивания;  - полярный момент инерции; l - длина скручиваемого стержня.
При чистом изгибе концевые сечения балки (рис.12.5) под действием изгибающих моментов повернутся на угол  , где  - центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом  оси балки.

Рис.5
Тогда

При плоском поперечном изгибе работу на вызванных внешними силами перемещениях совершает также и поперечная сила Q. Вычислим эту работу.
Как отмечалось ранее, поперечные силы являются равнодействующими распределенных в точках сечения касательных напряжений  а). Последние в любой элементарной площадке  , параллельной нейтральной линии сечения (б), согласно формуле Д.И.Журавского таковы:

где  - статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной линии Oz.
На основании закона Гука взаимный сдвиг двух соответствующих площадок dA, взятых на торцах mn и 


Рис.6
Следовательно, работа внутренних элементарных сил  при их нарастании от нуля до окончательного значения

при сдвиге.