План: Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения

а) б)

в) г)
Рис. 3
Производимая ими работа соответственно равна:

где  а величина  представляет собой площадь между исходной и изогнутой осями балки.
Обобщёнными силами могут быть не только внешние, но и внутренние:  .
Рассмотрим например статически неопределимую балку (рис. 12.3).

Рис. 12.3
Рассечём её на расстоянии z от левого конца и приложим к краям разреза по две нормальные силы N, две перерезывающие  , два изгибающих момента  , каждая из которых образует группу сил, характеризуемых одним числом, т.е. обобщённую силу.
Возьмём две нормальные силы N. Они совершат работу:

Обобщённое перемещение  представляет собой относительное расхождение краёв разреза. Аналогично можно рассмотреть две силы  и два момента  .
Обобщенные перемещения принято обозначать буквами  или  с двумя индексами. Первый индекс обозначает точку и направление перемещения, а второй указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например,  обозначает перемещение точки приложения силы F по направлению ее действия, вызванное этой же силой.
Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькими обобщенными силами, при  сохраняется только первый индекс.
Перемещение, вызванное безразмерной единичной силой  или безразмерной единичной парой  , обозначается символом  и называется удельным.
Работа внешних сил. Теорема Клапейрона
Вычислим работу некоторой обобщенной силы P, приложенной к любой упругой линейно деформируемой системе Предполагается, что нагрузка возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы при этом можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс.
Пусть в данный момент силе P соответствует обобщенное перемещение  . Бесконечно малое приращение силы на величину dP вызовет бесконечно малое приращение перемещения  . Элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми второго порядка, равна:

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой P, вызвавшей обобщенное перемещение ∆, имеет вид:

Интеграл (5) представляет собой площадь диаграммы  для данной конструкции

Рис.4
В линейно деформируемых системах перемещения пропорциональны величине силы (закон Гука):

где  - перемещение, вызванное силой 
Дифференцируем выражение (6):

Подставляя полученное выражение в формулу (5), найдем:

Учитывая выражение (6), окончательно получим:

Полученное выражение известно под названием