Методы интерполяции и аппроксимации

Интерполяционный многочлен Ньютона

Если узлы интерполяции равноотстоящие по величине, так что
x_i+1–x=h=const,
где h – шаг интерполяции, т.е. x_i=x₀+nh, то интерполяционный многочлен можно записать в форме, предложенной Ньютоном.
Интерполяционные полиномы Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится в начале таблицы – первая интерполяционная формула Ньютона или конце таблицы – вторая формула.

1. Первая интерполяционная формула Ньютона

Интерполирующий полином ищется в виде

P_n (x)  a₀  a₁(x  x₀ )  a₂ (x  x₀ )(x  x₁)  ...  a_n (x  x₀ )...(x  x_n1).
(5)

Построение многочлена сводится к определению коэффициентов а_i.. При записи коэффициентов пользуются конечными разностями.
Конечные разности первого порядка запишутся в виде:
y₀ = y₁ – y₀;
y₁ = y₂ – y₁;
…
y_n-1 = y_n – y_n-1,
где y_i – значения функции при соответствующих значениях x_i.
Конечные разности второго порядка:
²y₀ = y₁ – y₀;
²y₁ = y₂ – y₁;
…
²y_n-2 = y_n-1 – y_n-2.
Конечные разности высших порядков найдутся аналогично:
^ky₀ = ^k-1y₁ – ^k-1y₀;
^ky₁ = ^k-1y₂ – ^k-1y₁;
…
^ky_n-2 = ^k-1y_n-1 – ^k-1y_n-2.
Коэффициенты а₀, а₁,..., а_n находятся из условия P_n (x_i) = y_i. Находим a₀, полагая x=x₀,
a₀=P(x₀)=y₀.

Далее подставляя значения x=x₁, получим:
P_n (x₁) = y₁ = y₀ +a₁(x₁ – x₀),

a₁ 
y₁  y₀ x₁  x_0
 y_{0 .}
h

Для определения а₂, полагая x=x₂, получим

y₀
P_n(x₂) = y₂ = y₀+ _h (x
₂ – x₀)+a₂(x₂
– x₀)(x₂ – x₁) = y₀+2y₀+a₂2h²;

a₂ =
y₂  y₀  2y₀ 2h²
₌ y₂  y₀  2 y₁  2 y_{0 =}
2h²
y₂  2 y₁  y_{0 =}
2h²

₌ ( y₂  y₁)  ( y₁  y₀ ) 2h²
₌ y₁  y₀
2h²
² y₀


⁼ 2!h^{2 .}

Общая формула для нахождения всех коэффициентов имеет вид
ⁱ y₀

где i=1…n.

В результате (5) примет вид
Δy₀
a_i 
i!hⁱ
,


Δ ² y₀

P_n (x)  y₀ 
1!h
(x  x₀ ) 
2!h ²
(x  x₀ )(x  x₁)  ...

(6)

• 
  Δ ⁿ y₀
  

n!h ⁿ
(x  x₀ )...(x  x_n1 ).

Данный многочлен называют первым полиномом Ньютона.

Пример

Дана таблица значений (табл. 6) зависимости вязкости воды от температуры ρ=f(T).
Таблица 6
Зависимость вязкости воды от температуры

T, °С	0	25	50	75	100
ρ, кг/м^3	1000	997	988	975	960

1. 
   Построить первый интерполяционный многочлен Ньютона.
   
2. 
   Определить значение полинома для температуры T=12°С.
   

Решение

Составим таблицу конечных разностей функции (табл. 7).

Таблица конечных разностей

Таблица 7

Индекс	T	ρ	ρ	^2ρ	^3ρ	^4ρ
0	0	1000	–3	–6	2	0

1	25	997	–9	–4	2
2	50	988	–13	–2
3	75	975	–15
4	100	960

Для построения полинома воспользуемся формулой (6):

_ ³ρ₀


P₄ (T )  ρ₀ 
ρ₀
h

(T  T₀ ) 

⁴ρ₀
²ρ₀
2!h ²

(T  T₀ )(T  T₁) 

3!h³
(T  T₀ )(T  T₁)(T  T₂ ) 
4!h ⁴
(T  T₀ )(T  T₁ )(T  T₂ )(T  T₃ ) 

 1000 
³ (T  0) 
25
6


25²  2
(T  0)(T  25) 
2


25³  6
(T  0)(T  25)(T  50) 

 0,0000213 T ³  0,0064  T ²  0,0267  T  1000.
Подставив в формулу полученного полинома значение Т=12°С, найдем значение плотности ρ=999,35 кг/м³.

4.1.4.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для нахождения значений функции в конце интервала интерполирования интерполяционный полином запишется в виде

P_n (x)  a₀  a₁(x  x_n )  a₂ (x  x_n )(x  x_n1)  ...
... a_n (x  x_n )(x  x_{n 1})...(x  x₁).
Коэффициенты а₀, а₁, ..., а_n находятся из условия P_n (x_i ) = y_i. Подставляя в (7) x = x_n, найдем
P_n (x_n )  y_n  a₀ .

(7)

Для x=x_n-1:
P (x


)=y

=y +a (x

– x ), a

_ ^yn ^{ y}n1 _ ^yn1 _.

n

Для x=x_n-2:

n-1
n-1 n
1 n-1 n _{1 h h}

^Pn ^(xn  2 ^{)  y}n  2
 y_n  ^{yn 1} (x_{n  2}  x_n )  a₂ (x_{n  2}  x_n )(x_{n  2}  x_{n 1}) 
h

 y_n  ^{yn 1} (2h)  a₂  2h²
h
 y_n  2y_{n 1}  a₂ 2h² ;

a₂ 
^{2 y}n2

.
2!h²

Формула для нахождения всех коэффициентов запишется как:
ⁱ y
_{ai } п1 _.
i!hⁱ

Подставив выражения для определения коэффициентов a_i в формулу (7), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

P_n (x) 
y_n 
^yn1
h
(x  x_n ) 
^{2 y}n2
2!h²
(x  x_n )(x  x_n1 ) 

_ ^{3 y}n3
3!h³
(x  x_n )(x  x_n1 )(x  x_n2 )  ...

(8)

Пример

... 
ⁿ y₀ n!hⁿ
(x  x_n )(x  x_n1 )...(x  x₁ ).

Дана таблица значений (табл. 7) ρ=f(T).

1. 
   Построить интерполяционный многочлен Ньютона.
   
2. 
   Определить значение полинома для температуры T=90°С.
   

Решение

Для построения полинома воспользуемся формулой (8) и табл. 7:
ρ ²ρ
P₄ (x)  ρ₄  ³ (T  T₄ )  ² (T  T₄ )(T  T₃ ) 

³ρ

h 2!h²
 ⁴ρ

 ¹ (T  T₄ )(T  T₃ )(T  T₂ )  ⁰ (T  T₄ )(T  T₃ )(T  T₂ )(T  T₁) 

3!h³
4!h⁴
_{ 960 } 15(T 100) _ 2(T 100)(T  75) _
25 2! 25²
_ 2(T 100)(T  75)(T  50) _
3!25³
 0,0000213  T ³  0,0064  T ²  0, 2933  T  1028.

Подставив в формулу полученного полинома значение Т=90°С, найдем значение плотности ρ=965,29 кг/м³.