Методы интерполяции и аппроксимации

Канонический полином

Вид канонического полинома степени n
P_n(x)=a₀+a₁x¹+a₂x²+…+a_n-1x^n–1+a_n xⁿ. (2)
Выбор многочлена степени n основан на том факте, что через n+1 точку проходит единственная кривая степени n. Подставив (2) в (1), получим систему линейных алгебраических уравнений (3)
^a  a x  a x²  a x^п1  a x^п  у

_ 0 1 0 2 0
n1 0
n 0 0

0 1 1 2 1
_a  a x

• 
  a x²  a x^п1  a x^п  у
  

n 1 1

n

1 1
^a  a x  a x²  a x^п1  a x^п  у
(3)

^ 0 1 2 2 2
n1 2
n 2 2


^...
^a  a x

• 
  a x²  a x^п1  a x^п  у
  

_ 0 1 п
2 п n1 п n п п

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, найдём коэффициенты интерполяционного полинома a₀, a₁, a₂, ..., a_n.

2. Линейная интерполяция

Линейная интерполяция – простейший и часто используемый вид интерполяции. Она состоит в том, что заданные точки с координатами x_i, y_i при i=0, 1, 2, ... n соединяются прямолинейными отрезками, а функцию y(x) можно приближенно представить в виде ломаной.
Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x_i-1, x_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки: для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i),

Отсюда
y  y_{i 1} ^yi ^{ y}i 1

₌ x  x_{i 1 .}
^xi ^{ x}i 1

y=a_ix+b_i, x_{i-1 } x _ x_i; (4)

a_i =
^{yi  yi 1} , b_i = y _i-1 – a_i x_i-1. (5)
^xi ^{ x}i 1

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (4) и найти приближенное значение функции в этой точке. Пример линейной интерполяции для экспериментальных данных согласно табл. 2. приведен на рис. 2.
Таблица 2
Таблица экспериментальных данных

Индекс	0	1	2	3	4
x	1	2	3	4	5
y	2,5	4	3,5	5	6

7



y
6
5
4
3
2
1
0

6
0 1 2 3 4 5 ^x
Рис. 2. Графическое решение линейной интерполяции

Пример

Даны экспериментальные данные (табл. 3).

Экспериментальные данные

Таблица 3

x	0	2	3	3,5
y	-1	0,2	0,5	0,8

Задание

1. 
   Найти значение функции при x=1 и x=3,2.
   
2. 
   Решить задачу графически.
   

Решение

1. 
   Точка x=1 принадлежит первому локальному отрезку [0, 2], т.е. i=1 и, следовательно, по вышеприведенным формулам (1, 2):
   

a₁ =
y₁  y₀ x₁  x_0
 0,2  (1) _{ 0,6 ;}
2  0

b₁ = y₀ – a₁ x₀ = –1–0,6∙0 = –1;
y = a₁x + b₁ = 0,6∙1 – 1 = –0,4.

Точка x=3,2 принадлежит третьему интервалу [3, 3,5], т.е. i=3 и, следовательно, по формулам (1, 2):

a₃ =
y₃  y₂ x₃  x_2
 0,8  0,5 _{ 0,6 ;}
3,5  3

b₃ = y₂ – a₃ x₂ = 0,5–0,6∙3 = –1,3;
y = a₃x + b₃ = 0,6∙3,2 – 1,3 = 0,62.

2. 
   По данным таблицы 3 строим график (рис. 3).
   

1
y

6,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1

-1,2

0 1 2 3 3,2 x

Рис. 3. Графическое решение поставленной задачи

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
n
P_n (x)  _ y_i  L_n (x) , (3)
i 0
где L_n(x) – множитель Лагранжа

L (x) 
x  x₀ ...x  x_{i 1} x  x_{i 1} ...x  x_n 
_ ⁿ x  x_k  _.

ⁿ x  x
...x  x
x  x
...x  x  ^x  x 

i 0

Следовательно

i i 1
i i 1


i n ^{k 0} i k k i



^{n  n} x  x_k ^

P_n (x) =
^{ yi  } x  x ^.

i 0
^ k 0 ^{i k }
_ k i _

Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения x=x_i, так как результат будет равен нулю.
В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать:

P_n (x)  y₀
(x  x₁)(x  x₂ )...(x  x_n ) _
(x₀  x₁)(x₀  x₂ )...(x₀  x_n )

_{ y} x  x₀ x  x₂ ...x  x_n 

 ...

• 
  y_n
  

¹ x₁  x₀ x₁  x₂ ...x₁  x_n 


(x  x₀ )(x  x₁)(x  x₂ )...(x  x_n1) _.
(x_n  x₀ )(x_n  x₁)(x_n  x₂ )...(x_n  x_n1)
(4)

Интерполяционный полином Лагранжа обычно применяется в теоретических исследованиях (при доказательстве теорем, аналитическом решении задач и т. п.).

Пример

1. 
   Найти для функции y=sinx интерполяционный полином Лагранжа,
   

¹ 1

выбрав узлы x₀=0, x₁= ₆ , x₂= ₂ .

2. 
   Найти значения полинома Лагранжа для значений х: ¹
   

4

и ¹ .

3

3. 
   Определить абсолютную и относительную погрешности вычислений.
   

Решение

1. 
   Вычислим соответствующие значения функции в узлах:
   

y  0; y  sin ^π  ¹ ; y
 sin ^π 1 (табл. 4).

0 1 _{6 2} 2
2

Таблица данных

Таблица 4

Индекс	0	1	2
x	0	1 6	0,5
y	0	0,5	1

Применяя формулу (4), получим

 _{x } ¹  _{x } ¹ 
x  0^ x  ^{1 }
x  0^ x  ^{1 }

 ₆  ₂ 
 ₂  ₁
 ₆ 

P_n (x)  ^{  }  0 
  _
  
1^;

 _{0 } ¹  _{0 } ¹ 
 ¹ _{ 0} ¹ _ ¹  ²
 ¹ _{ 0} ¹ _ ¹ 

6

2
 
 
  

6

6

2
  
   

2

2

6
   

P_n x  ⁷ x  3  x² .
2

2. 
   Определим значения полинома Лагранжа для значений х:
   

¹ и ¹ :
4 3

P ^{ 1 }  ⁷  ¹  3 ¹  0,688 и P ^{ 1 }  ⁷  ¹  3 ¹  0,833.
^{n } 4 ^ 2 4 16 ^{n } 3 ^ 2 3 9
   

3. 
   Определим погрешности вычислений.
   

Для этого найдем значения функции y=sinx при заданных значениях x, составив соответствующую таблицу (табл. 5).
Таблица 5
Таблица данных

x	0	1 6	1 4	1 3	1 2
y	0	0,5	0,71	0,87	1
Pn(x)	0	0,5	0,69	0,83	1

Абсолютная погрешность измерения, определяемая как разность между истинным и измеренным значениями физической величины:
Δ_1/4=0,71 – 0,69=0,02 и Δ_1/3=0,87 – 0,83=0,04.
Относительная погрешность находится как отношение абсолютной погрешности к истинному значению или к результату измерения:

^δ1 / 4
 ^0,02 100  2,82
0,71
или
^δ1 / 4
 ^0,02 100  2,9;
0,69

δ_{1 / 3}  ^0,04 100  4,6
0,87
или
δ_{1 / 3}  ^0,04 100  4,82.
0,83