Методы интерполяции и аппроксимации

4.2.4. Аппроксимация в виде показательной функции

При обработке данных эксперимента в некоторых случаях возникает необходимость воспользоваться зависимостью вида
y  b  e^{a  x} , (21)
где a, b  неизвестные коэффициенты.
Прологарифмировав уравнение (15), получим
ln( y)  ln( b)  a  x .
Введя обозначения:
Y=ln(y), B=ln(b), A=а,
получим линейный многочлен первой степени
Y=В+Аx.
Далее уравнение решается по методу наименьших квадратов

n
F  _
i1
Y_i

• 
  B  A  x_i
  

²  min .
x

Формулы для вычисления коэффициентов А и В аналогичны как для случая линейной аппроксимации (16, 17):
n n n _{n n}

n  _(x_i Y_i )  _ x_i  _Y_{i
A } i 1 i 1 i 1 _,
Y_i  A_ x_{i
B } i1 i1 _.

n _ n _^{2 n}

i
n  _ x ²  ^ _ x_i ^
i 1  i 1 
После определения коэффициентов вернемся к принятым ранее обозначениям:

a  e ^A , b=B,
y_i  e^Yi .

2.5. Аппроксимация в виде степенной функции

Степенная функция имеет вид
y  b  x^a . (22)
Логарифмируя последнее уравнение, получим

^{lg( y)  lg( b)  a  lg( x)} .

Введем обозначения:
Y=lg(y), B=lg(b); A=a; X=lg(x).
Используя метод наименьших квадратов, найдем неизвестные коэффициенты B и А:

n
F  _
Y_i

• 
  B  А  X_i
  

²  min .

i 1 ^x
Формулы для вычисления коэффициентов А и В аналогичны как для случая линейной аппроксимации (12, 13):
n n n _{n n}

n  _( X_i Y_i )  _ X_i  _Y_{i
A } i 1 i 1 i 1 _,
Y_i  A_ X_{i
B } i1 i1 _.

n _ n _^{2 n}

i
n  _ X ²  ^ _ X_i ^

i 1
 i 1 

После определения коэффициентов вернемся к принятым ранее обозначениям:

b  10^B ,
a  A ,
y_i  10^Yi ,
x_i  10 ^Xi .