Методы интерполяции и аппроксимации

Метод наименьших квадратов

Суть метода наименьших квадратов заключается в нахождении таких значений х_i, при которых сумма квадратов отклонений (ошибок) e_i=y_i – f_i(x) будет стремиться к минимуму

2
n

e
_{ i} 
n
_( y_i 


f (x_i

))²  min . (9)

i 1
i 1 ^x

Т.к. каждое значение x_i в общем случае «сопровождается» соответствующим коэффициентом а_i (i = 0, 1, 2, …, n), то задача сводится к нахождению данных коэффициентов. Введем обозначение функции
n

F (a , a , ...,a )  _( y  f (x ))².
(10)

0 1 n i i i1
Тогда, на основе обращения в точке минимума функции F в нуль ее производных, для определения вышеупомянутых коэффициентов составляется нормальная система:

_ dF


^da₀
 ^dF
da
 0;

 0;

^ 1
^...


_ dF
^_da_n
 0.

Существенным недостатком метода является громоздкость вычислений, вследствие чего к нему прибегают при достаточно точных экспериментальных данных при необходимости получения очень точных значений функции.

2. Линейная аппроксимация

В ряде экспериментов данные распределяются таким образом, что оказывается возможным описать их изменение линейной зависимостью (линейным уравнением) (рис. 7)
P(x)=ax+b. (11)
Формулы для расчета коэффициентов a и b определяются по методу наименьших квадратов (9), подставив (11) в (10)

n
F  _( y_i
i 1

• 
  a  x_i
  

 b)²  min . (12)

Рис. 7. Линейная аппроксимация
Для решения (12) составляется система из двух уравнений с двумя неизвестными

_ dF
^ da
^ dF
 0;
(13)

^  0.
^ db
Подставляя в (13) формулу (12), получаем

^ dF
n
 2  ( y

• 
  a  x
  

 b) 1  0,

^ db

^ i i
i 1

(14)

_dF
^_ da
 2 
n
_( y_i
i 1
и

• 
  a  x_i
  
• 
  b)  x_i
  

 0.

^a n x²  b n x
n
 (x

 y )

 ^ i
^ i 1
 _n
 _i
i 1
n
 _i
i 1
i
, (15)


^a _ x_i

• 
  nb  _ y_i
  

 i 1
i 1

Решая полученную систему (15) методом подстановки, получаем формулы для нахождения коэффициентов a и b:
n n n
n  _(x_i  y_i )  _ x_i  _ y_{i
a } i 1 i 1 i 1 _{, (16)}
n _ n _²
n  _ x²  ^ _ x ^

i
i 1
i
 i 1 

n n
y  a x
n n
y  x² 
n n
x  (x
 y )

 _i  _i
 _i  _i
^ i ^ i i

_{b } i 1 i 1 _ i 1 i 1 i 1 i 1 _{. (17)}
ⁿ n _ n _²
n  _ x²  ^ _ x ^

Пример

i
i 1
i
 i 1 

Дана табличная зависимость мощности N токарно-винторезных станков от максимального диаметра обрабатываемой заготовки d, устанавливаемой над станиной, для десяти моделей (табл. 9).
Таблица 9 Значения максимального диаметра заготовки, устанавливаемой
над станиной, и мощности токарно-винторезных станков

Модель станка	250ИТВМ.03	КА280	1В62Г	16К250	1М63	16К40	1Н65	СА650	1А660	1А670
d, мм	240	400	445	500	630	800	1000	1080	1250	2000
N, кВТ	3	7,5	8,37	11	15	18,5	22	22	30	55

Требуется найти мощность проектируемого токарно-винторезного станка для обработки заготовки максимального диаметра 700 мм.

60
Построим область значений распределения данных (рис. 8).

Рис. 8. Область распределения табличных данных (табл. 9)

1800
Анализ диаграммы (рис. 8) позволяет сделать вывод, что изменение табличных данных можно с достаточной степенью точности описать уравнением прямой (11). В связи с этим, для нахождения эмпирической зависимости, описывающей изменение данных, можно воспользоваться методом линейной аппроксимации.

Для удобства перепишем вышеприведенные формулы (16, 17):

10 10 10

10 10

10  _(d_i  N_i )  _d_i  _ N_i
 N_i  a_d_i

_{a } i 1 i 1 i 1 _{, b } i1 i1 _.
10 _ 10 _^{2 10}

i
10  _d ²  ^ _d_i ^
i 1  i 1 
Проведем расчеты и решим задачу, проиллюстрировав решение графически.
Значения коэффициентов:
а=0,032, b= – 6,62.
Уравнение прямой для данного примера примет вид
N(d)=0,032d – 6,62.
Подставив в последнее выражение значение диаметра 700 мм, получим значение мощности проектируемого станка – N=15,78 кВт.
Проведя аппроксимирующую функцию (прямую), можно убедиться в правильности решения (рис. 9).



60
N, кВт

50

40

30

20

10

0
0 200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

d, мм

1800
Рис. 9. Диаграмма, построенная средствами Microsoft Office Excel
Из диаграммы видно, что при значении диаметра заготовки 700 мм, мощность станка ориентировочно составит 16 к Вт.

2.3. Параболическая аппроксимация

Если линейным полиномом не удается точно точности аппроксимировать экспериментальные данные, применяют нелинейную аппроксимацию – аппроксимацию второго и большего порядков. Аппроксимация второго порядка (параболическая) опишется многочленом

P₂ (x)  a₀  a₁  x  a₂  x ² . (18)
Коэффициенты а_i определятся по методу наименьших квадратов

n
F  _


( y_i

• 
  a₀
  
• 
  a₁
  

 x_i

• 
  a₂
  

i
 x ² )²  min . (19)

i 1 ^x
Составляем систему уравнений, приравняв частные производные нулю:


^ dF
 2  _( y  a

 a  x  a  x² ) 1  0;

_ da₀
i

n
i1
0 1 i 2 i

^ dF
 2 
n
( y  a
 a  x  a  x² )  x
 0;

^ da
^ i 0 1 i
2 i i

_{ 1} i1

^ dF
 2 
n
( y  a

• 
  a  x  a
  

 x² )  x²  0.

^da ^{ i}
0 1 i
2 i i

_{ 2} i1
После преобразований получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (а₀, а₁, а₂):


^a0

 n  a₁
n
 _ x_i
i 1

• 
  a₂
  

n
 _
i 1
n





2

x
_i y_i ,
i 1


_a₀
n
 _ x_i
 a₁ 
n

i
_ x²  a₂
n

i
 _ x³ 
n
_(x_i
 y_i ),

(20)

 ^{i 1}
 _n
i 1 n
i 1 n
i 1 n

^a₀  _ x²  a₁  _ x³  a₂  _ x⁴  _(x²  y_i ).

_
Введем обозначения:
i
i 1
i
i 1
i
i 1
i
i 1

n
S₁  _ x_i ;
i 1
n
S₂  _
i 1
^x2 ;
n
S₃  _
i 1
x³ ; S₄
n
 _
i1
x ⁴ ,

i

i

i
n
S₅  _ y_i


; ^S₆
n
 _(x_i
^{ y}_i ⁾ ;
n
S₇  _
(x ²  y_i ) .

i 1
i 1
i1

i
С учетом принятых обозначений система (20) примет вид:
_ a₀  n  a₁  S₁  a₂  S₂  S₅ ,

a


^ ₀  S₁  a₁  S₂  a₂  S₃  S₆ ,


^a₀  S₂  a₁  S₃  a₂  S₄  S₇ .

Коэффициенты a₀, a₁, a₂ найдутся методом Крамера, согласно которому:

где
a  ^0 ,
0 _
a  ^1 ,
1 _
a  ^2 ,
2 _

n S₁ S₂
S₅ S₁ S₂
n S₅ S₂
n S₁ S₅

 S₁ S₂
S₂ S_3
S3 ;
S₄
₀  S₆
S₇
S₂ S₃
S₃ S₄
^, ₁  S₁ S₆
S₂ S_7
S3 ,
S₄
₂  S₁ S₂
S₂ S_3
S6 .
S₇