Международный научно

Определение.
Регулярным решением уравнения (1) в области 
Ω
0
будем 
называть функцию 
𝑈(𝑥, 𝑦)𝜖𝐶(Ω
̅
0
) ∩ 𝐶
2
(Ω
0
),
удовлетворяющую уравнению (1) в 

---

934 
области 
Ω
0
,
имеющую ограниченные вторые производные в 
𝜕Ω
0
, кроме точек 
𝑂(0, 0)
и 
𝐴(1, 0), 𝐵(0, 1)
в которых они могут обращаться в бесконечность 
порядка меньше единицы и 
ᴂ
1
,
соответственно, где 
ᴂ
1
- 
достаточно малое 
положительное число и
0 < ᴂ
1
< ᴂ 
[1-3]. 
Задача 
𝑵𝑫
 
(
Неймана
-
Дирихле
). Найти регулярное решение уравнения (1) 
в области 
Ω
0
, удовлетворяющее краевым условиям: 
𝑈(𝑥, 𝑦) = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ Ω
0
,
 
lim
𝑦→+0
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= 0, (𝑥, 0) ∈ 𝐼
1,
lim
𝑥→+0
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 0, (0, 𝑦) ∈ 𝐼
2
.
 
Функция Грина 
𝐺
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)
задача 
ND
для уравнения (1) при 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑈, 𝑈
𝑥
, 𝑈
𝑦
) ≡ 0
в области 
Ω
0
имеет вид [3]:
 
𝐺
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) = 𝑞
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) − (𝑟
0
2
)
−2𝛽
𝑞
2
(𝜉, 𝜂: 𝑥̅, 𝑦̅), (2)
 
где
 
𝑞
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) = 𝛾
02
(𝑟
1
2
𝑟
2
2
)
−𝛽
𝐹(𝛽, 𝛽, 2𝛽, 1 − 𝑆), (3)
 
𝛾
02
=
4
2𝛽−1
Γ
2
(𝛽)
𝜋Γ(2𝛽)
, 1 − 𝑠 = 1 −
𝑟
3
2
𝑟
4
2
(𝑟
1
2
𝑟
2
2
)
,
𝑟
1,2
2
= (𝜉
𝑝
± 𝑥
𝑝
)
2
+ (𝜂
𝑝
± 𝑦
𝑝
)
2
,
𝑟
3,4
2
= (𝜉
𝑝
± 𝑥
𝑝
)
2
+ (𝜂
𝑝
± 𝑦
𝑝
)
2
,
𝑟
0
2
= 𝑥
2𝑝
+ 𝑦
2𝑝
,
𝑥̅
𝑝
= 𝑥
𝑝
𝑟
0
2
⁄
,
𝑦̅
𝑝
=
𝑦
𝑝
𝑟
0
2
,
𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑧)
- 
гипергеометрическая функция Гаусса [3].
Ещё раз отметим, что основная цель в этой статьи —
доказательство 
существование решение задачи 
ND 
методом последовательных приближений.
 
Заметим, что обычно квазилинейные уравнения в частных производных 
эквивалентно приводится к интегро
-
дифференциальным уравнениям, далее 
которой решается методом последовательных приближений. Здесь, мы тоже так 
поступим. 
Задача 
𝑵𝑫
для уравнения (1), классическими методами сводится к 
эквивалентному интегро
-
дифференциальному уравнению (доказывается ниже) 
[4-
6]. Разрешимость интегро
-
дифференциального уравнения
исследуется 

---

935 
методом последовательных приближений, которая требуется оценки функции 
Грина (2) и ее производных по 
𝑥
и 
𝑦
. 
В [7] доказаны следующие леммы.
Лемма 1. 
Пусть 
𝑓(𝑥, 𝑦)
представима в виде: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦)
2𝑝+1
𝑓
1
(𝑥, 𝑦),
 
где 
𝑓
1
(𝑥, 𝑦) ∈ С
1
(Ω
̅
0
)
, и обращается в нуль на 
σ
0
порядка 
1 + ӕ
. Тогда функция
 
𝑣(𝑥, 𝑦) = − ∬ 𝐺
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)𝑓(𝜉, 𝜂, )𝑑𝜉𝑑𝜂
Ω
0
. 
 
является регулярным решением уравнения 
𝑦
𝑚
𝑣
𝑥𝑥
+ 𝑥
𝑚
𝑣
𝑦𝑦
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
 
и удовлетворяет граничным условиям 
𝑣(𝑥, 𝑦) = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ Ω
0
, 
lim
𝑦→+0
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= 0, (𝑥, 0) ∈ 𝐼
1,
lim
𝑥→+0
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 0, (0, 𝑦) ∈ 𝐼
2
.
 
Лемма 2.
Для функции Грина (2) и ее производных по 
𝑥
и
𝑦
верны
следующие оценки:
|𝐺
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)| ≤ 𝐶 (𝑟
1
2𝛽
𝑟
2
2𝛽
𝑟
4
2𝜀
) ,
⁄
|𝐺
2𝑥
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)| ≤ 𝐶 (𝑟
1
2𝛽
𝑟
4
) ,
⁄
|𝐺
2𝑦
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)| ≤ 𝐶 (𝑟
2
2𝛽
𝑟
4
) ,
⁄
где 
𝐶 = с𝑜𝑛𝑠𝑡,
𝐶
1
=
2
𝑃(1−2𝜀)
, 𝐶
2
=
16
𝑝
2
, 𝐶 = 3 𝑚𝑎𝑥(𝐶
1
, 𝐶
2
)
, 
𝜀
- 
достаточно малое 
положительное число.
Для дальнейших исследований предположим, что правая часть уравнения 
(1) удовлетворяет условию 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑈, 𝑈
𝑥
, 𝑈
𝑦
) = (𝑥𝑦)
2𝑝+1
𝑓
1
(𝑥, 𝑦, 𝑈, 𝑈
𝑥
, 𝑈
𝑦
) (4)
 

---

936 
где функция 
𝑓
1
(𝑥, 𝑦, 𝑈, 𝑈
𝑥
, 𝑈
𝑦
)
непрерывна и имеет непрерывные производные 
первого порядка по всем аргументам в 
Р
и обращается на 
σ
0
в нуль порядка 
1 +
ӕ
и
𝑚𝑎𝑥
Р
||𝑓
1
||𝑓
1𝑈
|, |𝑓
1𝑈
𝑥
|, |𝑓
1𝑈
𝑦
|| ≤ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
 
В силу леммы 1 задача 
𝑵𝑫
для уравнения (1) эквивалентно сводится к 
следующему интегро
-
дифференциальному уравнению
𝑈(𝑥, 𝑦) = − ∬ 𝐺
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)
Ω
0
𝑓(𝜉, 𝜂, 𝑈, 𝑈
𝜉
, 𝑈
𝜂
)𝑑𝜉𝑑𝜂. (5)
 
Решение уравнения (5) будем искать методом последовательных 
приближений. За нулевое приближение примем
: 
𝑈
0
(𝑥, 𝑦) = 0.
 
Тогда, если определено 
𝑛
–
e 
приближение, то 
(𝑛 + 1)
–
e 
приближение 
находим по формуле 
𝑈
𝑛+1
(𝑥, 𝑦) = − ∬ 𝐺
2
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)𝑓 (𝜉, 𝜂, 𝑈
𝑛
,
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝜉
,
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝜂
) 𝑑𝜉𝑑𝜂.
Ω
0
Отсюда находим 
𝑈
𝑛+1
(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= ∬ 𝐺
2𝑥
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)𝑓 (𝜉, 𝜂, 𝑈
𝑛
,
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝜉
,
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝜂
) 𝑑𝜉𝑑𝜂,
Ω
0
𝜕𝑈
𝑛+1
(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= ∬ 𝐺
2𝑦
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)𝑓 (𝜉, 𝜂, 𝑈
𝑛
,
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝜉
,
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝜂
) 𝑑𝜉𝑑𝜂,
Ω
0
где
𝑛 = 0,1, …
. 
Лемма 3.
Пусть выполнено условие (4). Тогда имеют место следующие 
оценки:
|𝑈
𝑛+1
− 𝑈
𝑛
| ≤ С
1
𝐶𝑀(С
3
𝐶𝑁)
𝑛
,
|
𝜕𝑈
𝑛+1
𝜕𝑥
−
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝑥
| ≤ СС
2
С̅𝑀(С
3
𝐶𝑁)
𝑛
,

---

937 
|
𝜕𝑈
𝑛+1
𝜕𝑦
−
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝑦
| ≤ С
2
С̅𝑀(С
3
𝐶𝑁)
𝑛
,
где
 
𝑛 = 0,1, … , С
1
= 2 (𝑝(1 − 2𝜀)), С
2
⁄
= 16 𝑝
2
,
С
3
⁄
= 3 𝑚𝑎𝑥(С
1
, С
2
) ,
 
𝑀 = max
Ω
0
|𝑓
1
(𝑥, 𝑦, 0,0,0)|, 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥
𝑃
||𝑓
1𝑢
|, |𝑓
1𝑢
𝑥
|, |𝑓
1𝑢
𝑦
||.
 
Доказательство леммы 3 проводится аналогично доказательству леммы в 
[8].
Из оценок леммы 3 следует, что ряды 
𝑈
0
+ ∑(𝑈
𝑛
− 𝑈
𝑛−1
),
∞
𝑛=1
𝜕𝑈
0
𝜕𝑥
+ ∑ (
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝑥
−
𝜕𝑈
𝑛−1
𝜕𝑥
)
∞
𝑛=1
,
𝜕𝑈
0
𝜕𝑦
+ ∑ (
𝜕𝑈
𝑛
𝜕𝑦
−
𝜕𝑈
𝑛−1
𝜕𝑦
)
∞
𝑛=1
 
сходятся равномерно и абсолютно в 
Ω
̅
0
при 
N < (C
3
C)
−1
. Отсюда следует, что 
пределы последовательностей 
𝑈
𝑛+1
(𝑥, 𝑦),
𝑈
𝑛+1
(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
и 
𝜕𝑈
𝑛+1
(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
при 
𝑛 → ∞
существуют, а предельная функция 
𝑈(𝑥, 𝑦)
удовлетворяет интегро –
дифференциальному уравнению (5) и допускает следующие оценки
:
 
|𝑈(𝑥, 𝑦)| ≤ С
4
𝑁
1
, |𝑈
𝑥
(𝑥, 𝑦)| ≤ С
5
𝑁
1
, |𝑈
𝑦
(𝑥, 𝑦)| ≤ С
5
𝑁
1
, 
где
С
4
= С
1
𝐶𝑀,
С
5
= С
2
𝐶𝑀,
𝑁
1
= (1 − С
3
𝐶𝑁)
−1
.
 
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема.
Пусть выполнены условия (4) и 
𝑁 < (С
3
С̅)
−1
, тогда существует 
решение задачи 
𝑵𝑫
. 
Известно, что в последнее время основное внимание уделяется применение 
математики к физике, биологии, механике, химии ва другим направлениям 
науки. Примерами этого являются
статьи
[9-43]
, в которых исследуются 
различные математические модели (системы обыкновенных дифференциальных 
уравнений, уравнения смешанного типа, вырождающиеся уравнения 
гиперболического и эллиптического типов) физических и биологических 

---

938 
процессов. В статьях [44
-
47] представлены научные исследования, основанные 
на передовых педагогических технологиях по изучения дифференциальных 
уравнений с частными производными с линиями вырождения.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
 
 
1. 
Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 294 с.
2. 
Мирсабуров М. Нелокальная краевая задача для вырождающегося эллип
-
тического уравнения,
Дифференциальные уравнения
, 38:1 (2002), 129
–
131. 
3. Салахитдинов М.С., Исломов Б.И. Уравнения смешанного типа с двумя 
линиями вырождения. –
Т.: «Мумтозсуз», 2009, 263 с.
4. 
Расулов Х.Р.
(1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения 
эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики 
Узбекистан, №12, с.12
-16.
 
5
. Салохитдинов М.С., Расулов Х.Р.
(1996). 
Задача Коши для одного 
квазилинейного вырождающегося уравнения гиперболического типа // ДАН 
Республики Узбекистан, №4, с.3
-7.
 
6. Rasulov H. Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two 
perpendicular line of degeneration // 
Центр научных публикаций (buxdu. uz) 
5:5 (2021). 
7
. Бозорова Д.Ш., Раупова М.Х. О функции Грина вырождающегося уравнения 
эллиптического типа // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), с.14
-
22. 
8. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. (2022) 
Ikkita buzilish chizig’iga ega 
kvazichiziqli elliptic tenglama uchun chegaraviy masala haqida // Central Asian 
Academic Journal Of Scientific Research, 2(5), 544-557 b. 
9. 
Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Математические модели и законы в биологии // 
Scientific progress, 2:2 (2021), р.870
-879. 

---

939 
10. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a 
quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: 
Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1
–
11. 
11. Rasulov H. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines 
of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), 
р
.35-38. 
12. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Задача типа задач Геллерстедта для одного 
уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Scientific progress, 
2:1 (2021), 
р.42
-48. 
13. 
Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных 
стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // 
Наука, техника и образование, 77:2
-
2 (2021) с.23
-26. 
14
. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об одной динамической системе с 
непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» 
International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.115-116. 
15. Rasulov X.R. Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik tipda
gi 
tenglamalar uchun qo’yiladigan chegaraviy masalalar haqida // Science and Education, 
scientific journal, 3:3 (2022), р.
46-54. 
16. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа 
// «
Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения
» 
Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. 
Банное, 18 –
22 марта 2019 г.), с.65
-66. 
17. Rasulov X.R. (2020). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation 
with two perpendicular line of degeneration // Uzbek Mathematical Journal
, №3, 
pp.117-125. 
18. 
Расулов Х.Р., Раупова М.Х.
Роль математики в биологических науках // 
Проблемы педагогики, № 53:2 (2021), с. 7
-10. 
19. 
Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяция ва унинг 
математик модели ҳақида
// Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), 
р.81
-96. 

---

940 
20. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Об одном квадратично стохастическом операторе 
с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» 
International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.145-146.
21. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяциянинг динамикаси ҳақида 
// Scientific progress, 2:1 (2021), р.665
-672. 
22
. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских 
динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 
77:2-
2 (2021) с.27
-30. 
23. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // 
Uzbek Mathematical Journal
, №4, 
pp.126-131. 
24. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. Ayrim dinamik sistemalarning tahlili haqida 
// Scientific progress, 2:1 (2021), р.448
-454. 
25. Rasulov H. Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two 
perpendicular line of degeneration // 
Центр научных публикаций
(buxdu. uz) 5:5 
(2021). 
26. Rasulov Kh.R., Sobirov S.Zh. A problem of the Gellerstedt type for one mixed-
type equation with two lines of degeneration // Scientific progress, 2:1 (2021), p. 42-
48. 
27. 
Исломов Б., Расулов Х.Р.
(1997). Существование обобщенных решений 
краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя 
линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5
-9. 
28. 
Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося 
квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века. 53:6
-1, 
2019. С.16
-18. 
29. 
Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического 
типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа
-
симпозиум по 
спектральным и эволюционным задачам. Сборник
материалов международной 
конференции КРОМШ
-2019, c. 197-199. 

---

941 
30. 
Расулов Т.Ҳ., Расулов Х.Р. (2021). Ўзгариши чегараланган функциялар 
бўлимини ўқитишга доир методик тавсиялар. Scientific progress. 2:1, 559
-567 
бетлар.
31. 
Расулов Х.Р
.
, Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с
не
-
прерывным временем
// 
Наука, техника и образование, 77:2
-
2 (2021) с
. 19-22. 
32.