Международный научно

ФИО автора: 
Бозорова Дилноза Шавкат кизи,
 
Бухарский государственный университет,
магистрант Физико
-
математического факультета
Название
 
публикации:
«
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ 
КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ
»
 
Аннотация.
В настоящей статье более подробно описан обзор о 
приложения линейных и квазилинейных уравнений с частными производными 
эллиптического типа. Доказано существование решение задачи Неймана
-
Дирихле (задача 
𝑵𝑫
) для квазилинейного уравнения эллиптического типа с 
двумя линиями вырождения. Разрешимость краевой задачи 
𝑵𝑫
доказано 
методом последовательных приближений.
Ключевые слова:
стационарное распределение температуры, изотропное 
тело,
потенциальное течение, несжимаемый жидкость, потенциал скорости, 
потенциал скорости, уравнения Пуассона, электростатическое поле, 
гравитационное поле, кручения призматического стержня, напряжения,
деформация, статические прогибы мембраны, дифференциальныя уравнения,
двумерные потенциалы, логарифмические потенциалы, объемный потенциал, 
классические решения, функция Грина, эллиптическое уравнения, задача 
Неймана
-
Дирихле, нормальная кривая, интегро
-
дифференциальное уравнение.
 
В статье изучается вопрос разрешимости краевой задачи, так называемой 
задача Неймана (задача Неймана
-
Дирихле или задача 
𝑵𝑫
). В настоящее время 
классические разделы математики претерпевают значительные изменения под 
влиянием наплыва новых идей и методов, главным образом связанных с
функциональным анализом. В первую очередь эти идеи коснулись в теории 
дифференциальных уравнений: обыкновенных и с частными производными.

---

931 
Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений 
представляют собой один из важных разделов современной теории 
дифференциальных уравнений с частными производными.
Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим 
линейным уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном 
рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения второго порядка. 
Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка, то к 
числу первых в этом направлении относится работа М.В. Келдыша, где впервые 
указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может 
освобождаться от граничных условий, которые заменяются условием 
ограниченности решений. Позже A.B. Бицадзе в своей работе указал, что условие 
ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой 
функцией.
Одним из вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка 
уравнение вида впервые было рассмотрено И.Л. Каролем. Им были построены 
фундаментальные решения этого уравнения при 
𝑎 < 1
. Позже P.C. Хайруллин 
в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные 
краевые задачи для эллиптического уравнения при тех же значениях 
𝑎
. 
Отметим, что к вырождающимся эллиптическим уравнениям приводят 
прикладные задачи гидро 
- 
и газовой динамики, теории упругости, перенос 
нейтронов и другие процессы в физике и механике. Значительное количество 
примеров приведено в работе.
Центральное место занимает исследование первой, третьей и смешанной 
краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на различных 
частях границы области. Доказывается однозначная обобщенная разрешимость 
этих краевых задач в весовых пространствах C.JI. Соболева, также 
устанавливается фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для 
вырождающегося эллиптического уравнения. Далее рассмотрена задача Дирихле 
для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения (сравнительно 
мало).

---

932 
Также перечислим практических задач, которые приводятся к 
исследованию краевых задач эллиптическим уравнениям.
Так, простейшие задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона:
1. Задача о стационарном распределении температур в изотропном теле 
при отсутствии в нем источников и поглотителей тепла приводит к уравнению 
Лапласа, в котором 
𝑢 −
температура, рассматриваемая как функция от 
координат.
Если в теле распределены источники тепла, мощность которых не меняется 
со временем, то температура удовлетворяет уравнению Пуассона.
2. Установившееся потенциальное течение несжимаемой жидкости также 
приводит к уравнению Лапласа. Для потенциального течения вектор скорости 
𝑣 = 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑢, 
где 
𝑢 −
потенциал скорости. Если в потоке отсутствуют
источники и стоки жидкости, то 
𝑢
удовлетворяет уравнению Лапласа; при 
наличии распределенных источников и стоков потенциал скоростей 
удовлетворяет уравнению Пуассона.
3. Потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению 
Лапласа в области, не содержащей зарядов, и уравнению Пуассона в области 
непрерывно распределенных зарядов.
4. Потенциал ньютонова гравитационного поля удовлетворяет уравнению 
Лапласа в области, не содержащей гравитирующих масс,
и уравнению Пуассона 
в области, содержащей распределенные гравитирующие массы.
5. Задача упругого кручения призматического стержня приводит к 
двумерному уравнению Лапласа для так называемой функции кручения. Через 
эту функцию и ее производные просто выражаются напряжения и деформации. 
К двумерному уравнению Лапласа приводит также и задача изгиба 
призматического стержня.
6. Задача о статических прогибах мембраны приводит к двумерному
уравнению Пуассона, в котором
𝑢 − 
прогиб мембраны, а
𝑓(𝑥, 𝑦) −
отношение 
интенсивности внешней нагрузки к напряжению мембраны.

---

933 
Как отмечалось выше, изучение краевых задач для уравнений 
эллиптического типа находятся в центре внимания специалистов по 
дифференциальным уравнениям с частными производными, благодаря 
глубокому 
математическому 
содержанию 
этих 
задач 
и 
наличию 
многочисленных приложений при исследовании проблем математической 
физики. Эта теория включает рассмотрение ряда трудных и интересных задач.
Действительно, теория краевых задач для уравнений эллиптического типа 
является одним из важных разделов современной теории дифференциальных 
уравнений с частными производными, который интенсивно развивается. Такой 
интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, 
так и их важными практическими приложениями. Теория уравнений 
эллиптического 
типа 
получила 
значительное 
развитие 
благодаря 
многочисленным 
приложениям 
в 
газовой 
динамике, 
в 
магнитной 
гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории 
оболочек, в прогнозировании
уровня грунтовых вод и других областях науки и 
техники.
В настоящей статье исследуем разрешимость задачи 
𝑵𝑫
для 
квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения.
Рассмотрим уравнение
𝑦
𝑚
𝑈
𝑥𝑥
+ 𝑥
𝑚
𝑈
𝑦𝑦
= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑈, 𝑈
𝑥
, 𝑈
𝑦
), (1)
где 
𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 > 0. 
Пусть 
Ω
0
- 
конечная односвязная область, ограниченная нормальной 
кривой 
𝜎
0
: 𝑥
2𝑝
+ 𝑦
2𝑝
= 1
с концами в точках 
𝐴(1,0), 𝐵(0,1)
и отрезками 
𝑂𝐴
оси 
𝑦 = 0
и 
𝑂𝐵
оси 
𝑥 = 0
. 
Введем обозначения:
𝐼
1
= {(𝑥, 𝑦)}: 0 < 𝑥 < 1, 𝑦 = 0,
𝐼
2
{(𝑥, 𝑦): 𝑥 = 0, 0 < 𝑦 < 1},
2𝑝 = 𝑚 + 2,
2𝛽 =
𝑚
𝑚 + 2
.