|
Maydonning oddiy kengaytmasi. Maydonning chekli va murakkab kengaytmalari. 1. Algebraik sonlar. 2. Transtsendent sonlar. 3. Maydonning oddiy kengaytmasi. 4. Algebraik elementning minimal ko’phadi. 5. Maydonning chekli kengaytmasi. 6. Maydonning murakkab kengaytmasi. TDPU “Umumiy matematika” kafedrasi dosenti G.R.Muxamedova TA’RIF. Agar α son koeffitsientlari ratsional sonlardan iborat ko’phadning yoki algebraik tenglamaning ildizi bo’la olsa, u holda α son algebraik son, aks holda transtsendent son deyiladi. - TA’RIF. Agar α son koeffitsientlari ratsional sonlardan iborat ko’phadning yoki algebraik tenglamaning ildizi bo’la olsa, u holda α son algebraik son, aks holda transtsendent son deyiladi.
- Bu ta’rifga ko’ra barcha ratsional sonlar algebraik sonlar bo’la oladi, chunki har qanday p/q (q≠0) ko’rinishdagi ratsional sonlar p-qx=0 tenglamaning ildizi bo’la oladi. , e sonlari transtsendent sonlardir.
- TA’RIF. Agar α son koeffitsientlari ℱ1 maydonga tegishli biror algebraik tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda α son ℱ1 maydonga nisbatan algebraik son, aks holda α son ℱ1 maydonga nisbatan transtsendent son deyiladi.
TA’RIF. ℱ1 maydon ustida bosh koeffitsienti 1 ga teng va keltirilmaydigan f(x) ko’phad α ildizga ega bo’lsa, u holda bu ko’phadning darajasi ℱ1 maydonga nisbatan α algebraik sonning darajasi deyiladi, f(x) ko’phad esa ℱ1 sonlar maydoni ustida minimal ko’phad deyiladi. - TA’RIF. ℱ1 maydon ustida bosh koeffitsienti 1 ga teng va keltirilmaydigan f(x) ko’phad α ildizga ega bo’lsa, u holda bu ko’phadning darajasi ℱ1 maydonga nisbatan α algebraik sonning darajasi deyiladi, f(x) ko’phad esa ℱ1 sonlar maydoni ustida minimal ko’phad deyiladi.
- Bu ta’rifga ko’ra f(x)= x2+9 ko’phad haqiqiy sonlar maydoni ustidagi minimal ko’phad bo’ladi.
TEOREMA. Agar α element ℱ1 maydon ustidagi algebraik element va g(x), φ(x) lar ℱ1 maydon ustidagi uning minimal ko’phadlari bo’lsa, u holda g(x)=φ(x) bo’ladi. - TEOREMA. Agar α element ℱ1 maydon ustidagi algebraik element va g(x), φ(x) lar ℱ1 maydon ustidagi uning minimal ko’phadlari bo’lsa, u holda g(x)=φ(x) bo’ladi.
- ISBOTI. g(x) va φ(x) minimal ko’phadlarning darajasi bir xil bo’ladi. Agar g(x)≠φ(x) bo’lsa, u holda α element (ℱ1 maydon ustidagi darajasi n) g(x)-φ(x) ko’phadning ildizi bo’ladi. Uning darajasi esa φ(x) darajasidan (n dan kichik) kichik bo’ladi. Buning bo’lishi mumkin emas. Demak, g(x)=φ(x) bo’ladi.
TA’RIF. Agar ℱ1 maydon ℱ maydonning qism maydoni bo’lib, α ℱ bo’lsa, u holda ℱ1 maydonni va α elementni o’z ichiga olgan ℱ maydonning eng kichik qism maydoni α element orqali hosil qilingan ℱ1 maydonning oddiy kengaytmasi, α algebraik element bo’lsa, u holda ℱ maydon ℱ1 maydonning oddiy algebraik kengaytmasi deyiladi. - TA’RIF. Agar ℱ1 maydon ℱ maydonning qism maydoni bo’lib, α ℱ bo’lsa, u holda ℱ1 maydonni va α elementni o’z ichiga olgan ℱ maydonning eng kichik qism maydoni α element orqali hosil qilingan ℱ1 maydonning oddiy kengaytmasi, α algebraik element bo’lsa, u holda ℱ maydon ℱ1 maydonning oddiy algebraik kengaytmasi deyiladi.
- MISOL. Ratsional sonlar maydoni Q ga darajasi 3 ga teng bo’lgan algebraik sonni kiritsak va uni Q[ ] orqali belgilasak, u holda Q[ ] to’plam maydon tashkil qiladi va Q[ ] maydon Q maydonning oddiy algebraik kengaytmasi bo’ladi.
ℱ maydonning qism maydoni ℱ1 bo’lsin. U holda ℱ ni ℱ1 maydon ustida vektor fazo deb qarash mumkin. - ℱ maydonning qism maydoni ℱ1 bo’lsin. U holda ℱ ni ℱ1 maydon ustida vektor fazo deb qarash mumkin.
- TA’RIF. Agar ℱ maydon ℱ1 maydon ustida vektor fazo sifatida chekli o’lchovga ega bo’lsa, u holda ℱ maydon ℱ1 maydonning chekli kengaytmasi deyiladi.
- ℱ ning ℱ1 maydon ustidagi chekli o’lchamini [ℱ: ℱ1] orqali belgilaylik.
- TEOREMA. Agar α element ℱ1 maydon ustida n-darajali algebraik element bo’lsa, u holda [ℱ1(α):ℱ1]=n bo’ladi.
- TA’RIF. Agar ℱ maydonning har bir elementi ℱ 1 maydon ustida algebraik bo’lsa, u holda ℱ maydon ℱ1 maydonning algebraik kengaytmasi deyiladi.
TEOREMA. ℱ1 maydonning ixtiyoriy chekli kengaytmasi bo’lgan ℱ maydon ℱ1 maydon ustidagi algebraik kengaytma bo’ladi. - TEOREMA. ℱ1 maydonning ixtiyoriy chekli kengaytmasi bo’lgan ℱ maydon ℱ1 maydon ustidagi algebraik kengaytma bo’ladi.
- Isboti. ℱ maydon ℱ1 maydon ustida n o’lchovli bo’lsin. Agar n=0 bo’lsa, u holda teorema o’rinli bo’ladi. n > 0 bo’lsin, u holda ℱ maydondan olingan n+1 ta element chiziqli bog’langan bo’ladi, xususiy holda 1, α, α2,...,αn elementlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’ladi, ya’ni ℱ1 da kamida bittasi nol bo’lmagan c0,c1,…,cn elementlar topiladiki, natijada
c0∙1+c1α+…+cn αn = 0 tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, α element algebraik element bo’ladi. TA’RIF. Agar ℱ maydonning ℒi - TA’RIF. Agar ℱ maydonning ℒi
qism maydonlarining o’suvchi zanjiri mavjud bo’lsa, ya’ni ℱ1= ℒo ℒ1... ℒk= ℱ (k>1) munosabat o’rinli bo’lsa, u holda ℱ maydon ℱ1 maydonning murakkab kengaytmasi deyiladi. - TEOREMA. ℱ maydon ℒ maydonning chekli kengaytmasi bo’lib, ℒ maydon ℱ1 maydonning chekli kengaytmasi bo’lsa, u holda ℱ maydon ℱ1 maydonning chekli kengaymasi bo’ladi va
[ℱ : ℱ 1]=[ℱ : ℒ] [ℒ : ℱ 1] munosabat o’rinli bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
