“Maydonning murakkab algebraik kengaytmasi va u haqidagi teorema” mavzusidagi kursi sh I bajardi: ”Matematika” yo‘nalishi

Algebraning asosiy teoremasi. Kompleks koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamini C [x] orqali belgilaylik. Algebraning asosiy teoremasi deb ataluvchi quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

(Algebraning asosiy teoremasi). Darajasi nolga

teng bo‘lmagan ixtiyoriy f (x)=C[x] ko‘phad kamida bitta kompleks

ildizga ega.

Teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz:

Natija. Darajasi n(n ≥1) ga teng bo‘lgan xar qanday f (x)= [x] ko‘phad maydonda n ta ildizga ega bo‘lib, f(x)=a0(x-a1)(x-a2)*…*(x-an)

yoyilma ko‘rinishida ifodalanadi. Bu yoyilma ko‘paytuvchilarining tartibi aniqligida yagonadir.

Qisqa ko`paytirish formulalari va Nyuton binomi

Quyidagi formulalarga qiska ko`paytirish formulalari dеyiladi.

yana simmetrik funksiyani hosil qilamiz.Haqiqatan ham,ixtiyoriy Sn (Sn - n darajali simmetrik gruppa ) uchun

yana simmetrik funksiyani hosil qilamiz.Haqiqatan ham,ixtiyoriy Sn (Sn - n darajali simmetrik gruppa ) uchun

`vij = u(i)u(j)+a(u(i)+u(j) = v(i),(j)

(yoki v(j),(i), agarda  (i) > (j) bo`lsa), shunday qilib  ` o`rniga qo`yishni (1) ko`rinishdagi elementlar to`plamida ifodalaydi. sk(v12,v13,...,vn-1,n) simmetrik ekanligidan argumentlarini o`rinlarini almashtirsak u o`zgarmasdan qoladi, shu sababli

(hk)(u1,...,un)=sk(`v12,`v13,...,`vn-1,n)= sk(v12,v13,...,vn-1,n)=hk(u1,...,un).

Ko`ramizki, hk(u1,...,un) qiymat faqat aR bog`liq bo`lgan hk(x1,...,xn) haqiqiy koeffisientli smmetrik ko`phadda xi = ui, i =1,...,n, qiymat qo`ygandagi uning qiymatidir.

Simmetrik ko`phadlar haqidagi asosiy teoremaga ko`ra shunday gk(y1,...,yn) ko`phad topiladiki, hk(x1,...,xn) = gk(s1(x1,...,xn),....,sn(x1,...,xn)) bo`ladi. Demak, (-1)kbk = hk(u1,...,un) = gk(s1(u1,...,un),...,sn(u1,...,un)) =gk(-a1,...,(-1)nan)R (ai –koeffisientlar unitar fR[x] ko`phadning koeffisientlari )

Shunday qilib, fa(x) ko`phadning bk koeffisientlari barcha aR da haqiqiy va deg fa=n`=2m-1n`0 , u holda induktiv farazimizga ko`ra fa kamida bitta kompleks ildizga ega, u biror vij bilan ustma-ust tushishi lozim. Bizning ixtiyorimizda bo`lgan aR parametrni o`zgartirib, biz boshqa bir haqiqiy koeffisientli fa(x) ko`phad olamiz, lekin har biriga shunday i < j indekslar jufti mos keladiki(а ga bog`liq bo`lgan ), vij= uiuj+a(ui+uj)F element F maydonning С qism maydonida yotadi. Shunday qilib, har xil i < j indekslar jufti hammasi bo`lib Cn2 ga teng, aR elementlar esa cheksiz ko`p, demak, shunday har xil ikkita haqiqiy a ,а` lar topiladiki ularga bitta indekslar jufti mos keladi, masalan aytaylik i =1, j =2 ( bu masala u1,...,un ildizlarni nomerlash masalasi) uchun