8-mavzu. Nyuton binomi. Binomial koeffiesientlarning xossalari. Rеja: Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Paskal uchburchagi. Tayanch

8-MAVZU. Nyuton binomi. Binomial koeffiesientlarning xossalari.

Rеja:

1. 
   Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar.
   
2. 
   Binomial koeffitsiyentlarning xossalari.
   
3. 
   Paskal uchburchagi.
   

Tayanch ibоra va tushunchalar: Gruppalash, gruppalashlar soni, Paskal uchburchagi, arifmetik uchburchak, ikkita son yig„indisining natural darajasi, butun sonning istalgan natural ko„rsatkichli ildizi, qisqa ko„paytirish formulalari, yig„indining bikvadrati, matematik induksiya, Nyuton binomi, binomial koeffitsientlar, Koshi ayniyati.
Paskal uchburchagi haqida umumiy ma’lumotlar. Berilgan n ta elementdan

n
^m tadan gruppalashlar soni C^m

uchun bir necha qatorlarni 1- jadvaldagidek yozamiz:

1- jadval

n	Gruppalashlar soni C^m n	( m  0, n )
1	C ^0  1, C^1  1 1 1
2	C ^0  1, C^1  2 , C ^2  1 2 2 2
3	C^0  1, C^1  3, C^2  3 , 3 3 3	C^3  1 3
4	C ^0  1, C^1  4 , C ^2  6 , 4 4 4	C ^3  4 , 4	C ^4  1 4
5	C^0  1, C^1  5 , C^2  10, C^3  10 , C^4  5 , ^C^4^^1 5 5 5 5 5 ^4
…	………………………………………………………….

Bu jadvalda gruppalashlar sonining quyidagi xossalarini kuzatish mumkin:

• 
  har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan (bu tasdiq C⁰  Cⁿ  1 formula bilan
  

n n

ifodalanadi, ushbu bobning 2- paragrafiga qarang);

• 
  
  n
  
  C
  har bir qatordagi ^m sonlar qatorning teng o„rtasiga nisbatan simmetrik
  

joylashgan, ya‟ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan sonlar o„zaro teng ( C^m  C^nm );

n n

• 
  ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa undan chapda joylashgan ikkita gruppalashlar sonining yig„indisiga teng
  

( C^m1  C^m  C^m1 );

n1 n n

• 
  
  C
  
  n
  har bir qatordagi ^m sonlar shu qator teng o„rtasigacha o„sib, so„ng kamayadi
  

(3.3 band, 5- xossaga qarang).

Ta‟rif sifatida

C⁰  1

deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning

n 1

0
raqamli qatoridan oldin

n  0

raqamli qatori sifatida joylashtirilsa, uchburchak

figurasiga o„xshash 1- shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin.

1- shakldagi sonlar jadvali Paskal uchburchagi deb ataladi. Bu jadval arifmetik uchburchak nomi bilan ham yuritiladi. Uning Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq mamlakatlarida ham ma‟lum

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

bo„lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy¹ XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, berilgan ikkita son yig„indisining natural darajasini hisoblash usulini o„zining ilmiy ishlarida keltirgan bo„lsa, g„arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1



1- shakl

Samarqandlik olim Ali Qushchi² butun sonning istalgan natural ko„rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalana bilganligi haqida ma‟lumotlar bor. Keyinchalik G„arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi haqida M. Shtifel³ arifmetika bo„yicha qo„llanmalarida yozgan va u ham butun sondan istalgan natural ko„rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya ⁴ , keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U. Otred⁵ (1631 yil) ham shug„ullanganlar. 1654 yilga kelib B. Paskal o„zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma‟lumotlarni e‟lon qildi.

Paskal uchburchagidagi qatorlar istalgancha davom ettirilishi mumkin. Shunisi qiziqki, Paskal uchburchagi yordamida istalgan n ta elementdan m tadan gruppalashlar

sonini faqat qo„shish amali yordamida hosil qilish mumkin. Bu amal

_Cm _{ C}m1 _{ C}m

formulaga asoslanadi.

n n1

n1

Paskal uchburchagi ko„plab ajoyib xossalarga ega. B. Paskal yuqorida zikr etilgan traktatda: “Bu xossalarning haqiqatdan ham bitmas-tuganmasligi naqadar ajoyibdir” deb yozgan edi. Ushbu paragrafning 3.3 bandida Paskal uchburchagining ba‟zi xossalari keltirilgan.

¹ At-Tusiy (Nosir ad-Din-Muhammad ibn Muhammad ibn-al-Hasan, 1201-1274) – Eron astronomi va matematigi.
² Ali Qushchi (Jamshid ibn Ma‟sud, tug„ilgan yili noma‟lum–taxminan 1436 yoki 1437 yilda vafot etgan) – o„zbek matematigi va astronomi, 1420-30 yillarda Samarqandda Mirzo Ulug„bek observatoriyasida ishlagan.

³ Shtifel Mixel (Michel, 1487-1567) – olmon matematigi.

⁴ Tartalya Nikkolo (Tartalia Nic-colo, 1499 yil atrofida tug„ilgan-1557) – italyan matematigi va mexanigi.

⁵ Otred Uilyam (Outred William, 1574-1660) – ingliz matematigi.