Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

n-tartibli bir jinsli differensial tenglamani fundamental yechimlar yordamida aniqlash

Teorema-1. Agar ikkita
(6.1)
(6.2)
bir jinsli differensial tenglamalar umumiy F.Y.S ga ega bo’lsa, u holda
(6.3)
munosabatlar o’rinli bo’ladi. Bu yerda -uzluksiz funksiyalar.
Isbot. Faraz qilaylik (6.1) va (6.2) differensial tenglamalarning -funksiyalardan iborat bo’lsin. U holda (6.1) tenglikdan (6.2) ni ayirib quyidagi
(6.4)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Avvalo, aniqlik uchun deylik. U holda shunday interval topilib, , o’rinli bo’ladi. So’ngra (6.4) tenglikning ikki tomoni , ga bo’lib
(6.5)
differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu differensial tenglama uchun -funksiyalar yechim bo’ladi. Lekin (6.5) differensial tenglama -tartibli bo’lgani uchun funksiyalar intervalda chiziqli bog’langan bo’ladi. Bu qarama-qarshilik, , ekanligini bildiradi. Xuddi shunday mulohaza yurgizish orqali

tenglik ham isbotlandi. Shunday qilib fundamental yechimlar sistemasi (F.Y.S.) bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamani yagona aniqlaydi.■
Endi (6.1) differensial tenglamani, uning fundamental yechimlari orqali qurish mumkinligini bayn qilamiz. Aytaylik ushbu funksiyalar (6.1) differensial tenglamaning fundamental yechimlaridan iborat bo’lsin, ya’ni
.
Biz izlayotgan bir jinsli n-tartibli chiziqli differensial tenglama

ko’rinishda bo’ladi, ya’ni
. (6.6)
Berilgan funksiyalarni birin ketin (6.6) tenglikdagi y(x) o‘rniga qo’yilsa, bu tenglama ayniyatga aylanadi. Bundan ko’rinadiki, funksiyalar (6.6) tenglamaning yechimlaridan iborat bo’ladi. Endi (6.6) determinantni (n+1)-ustun bo’yicha yoyamiz:

Bu tenglikning ikki tomonini quyidagi

determinantga bo’lib, ushbu

differensial tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu yerda

(6.7)

7.