Mavzu: Yuqori darajali algebraik tenglamar reja; Kirish. Asosiy qism

3-misol. X⁵-7x⁴+12x³+16x²-64x+48 ko’phad uchun x=2 necha karrali ildiz ekanligini aniqlang.
Yechish: Bu misol uchun ham yuqoridagi kabi quyidagi sxemani tuzamiz :

	1	-7	12	16	-64	48
2	1	-5	2	20	-24	0
2	1	-3	-4	12	0
2	1	-1	-6	0
2	1	1	-4

Demak ,x=2 uch karrali ildiz bo’lib , berilgan ko’phadni

X⁵-7x⁴+12x³+16x²-64x+48 =(x-2)³(x²-x-6)
Shaklda yozish mumkin .Bu yerda x²-x-6=(x-2)*(x+1)-4.


4-misol. P(x)=x³-3x²mx+n ko’phad (x+2)² ga qoldiqsiz bo’linsa n=? toping.
Yechish p(x)=(x+2)² φ(x) , x=-2 ko’phadning ikki karrali ildizi desak Gorner sxemasini tuzamiz:

	1	-3	m	n
-2	1	-5	10+m	-20-2m+n
-2	1	-7	24-m

Javob: n=68
5-misol. P(x)=ax³+bx²+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=?
Yechish: Gorner sxemasidan foydalanamiz .

	a	b	c	d
1	a	a+b	a+b+c	a+b+c+d
1	a	2a+b	3a+2b+c

d=2a+b
Javob: d=2a+b
2. Algebraic tenglamalarnig kompleks ildizlari.
K birlik elementga ega bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin .
6.1-Ta’rif. Agar K Butunlik sohasini biror αelementi uchun f(α)=0 tenglik bajarilsa , u holda α element f(x) ko`phadning ildizi deyiladi .
Q maydon ustida bir nomalumli birinchi darajali f(x) = αx+b ko`phad α 0 bo`lganda ratsional sonlar to`plamida doimo ildizga ega , chunki f(- ) = -b+b=0 , yani f(- )=0 bo`ladi .
Darajasi n≥1 bo`lgan har qanday ko`phad ildizilarga ega bo`lgan kengaytama maydon doimo mavjud bo`ladi(Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra) .
Nolinchi darajali f(x)= α 0 ko`phadni ildizi yo`q , chunki x ga qanday qiymatni bermaylik , baribir (x)= α 0 bo`ladi . biz nol ko`phadni etiborga olmaymiz , bunday ko`phad x ning har bir qiymatida nolga teng .
1-Teorema . f(x) ko`phadni x- α ikkihadga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng .
Isboti. Bo`luvchi x- α ning darajasi 1 ga teng bo`lgani uchun qoldiq r(x) yo nolinchi darajali ko`phad , yoki nol bo`lishi kerak , yani
f(x)=(x- α)h(x)+r (6.1)
bo`lib , bu tenglikda x= α desak , f(α) =r ni hosil qilamiz .
2-Teorema x= α element f(x) ko`phadning ildizi bo`lishi uchun f(x) ning x- α ikkihadga bo`linishi zarur va yetarli .
Isboti. Zaruriyligi . x= α ni f(x) ning ildizi deylik . bu holda f(α)=0 bo`ladi. 1-Teoremaga asosan f(x) ni x- α ga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng . lekin f(α) =0 bo`lgani uchun r=0 dir demak , f(x) ko`phad x- α ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi .
2.Yetarliligi . f(x) ko`phad x- α ga qoldiqsiz bo`linsin :
f(x)=(x- α)h(x) , yani qoldiq r=0 bo`lsin . 1-Teoremaga ko`ra f(α) =r . bunda r=0 bo`lgani uchun f(α)=0 . Demak x= α qiymat f(x) ko`phadning ildizi ekan .