Mavzu: Yuqori darajali algebraik tenglamar reja; Kirish. Asosiy qism

Ta’rif. Agar f(x) ko’phad ^α(x) ko’phadga bo’linib ,lekin ^α+1(x) o’phadga bo’linmasa , u holda (x) ko’phad f(x) ko’phadning karrali ko’paytuvchisi deyiladi . Bu ta’rifga asosan f(x) ko’phadni
f(x)= ^α(x)*g(x) (6.2).
Ko’rinishida yozish mumkin .Bunda g(x) ko’phad (x) ga bo’linmaydi , chunki aks holda g(x)= (x) *h(x) ifodani (6.2) ga qo’yib ushbuni hosil qilamiz:
F(x)= ^α+1(x)*h(x) .Bu esa f(x) ning ^α+1(x) ga bo’linishini ko’rsatadi .
Masalan , f(x)= X⁵+x⁴+x³-x²-x-1 ko’phad uchun (x) =x²+x+1 ko’phad ikki karrali ko’paytuvchidir. Chunki f(x) ko’phad (x²+x+1) ² ga bo’linadi .Lekin (x²+x+1)³ ga bo’linmaydi .Demak , f(x)=(x+x+1)³ (x-1)² bo’ladi.
F(x)= x⁴+2x³+2x² +3x-2
uchun (x)= x³+2x-1 bir karrali ko’paytuvchi , chunki
F(x)= (x³+2x-1) (x+2) .
F(x)=5(x²-4)⁴(2x³+x-1)³ (x+1)(x⁴-3x³+1)⁵
Ko’phad uchun ₁(x) =x²-4 ko’phad to’rt karrali ko’paytuvchi , ₂(x) =2x³+x-1 ko’phad uch karrali ko’paytuvchi , ₃(x) =x+1 bir karrali ko’paytuvchi va ₄(x) =x⁴-3x³+1 ko’phad besh karrali ko’paytuvchi ekanligi ravshan.
Teorema. Agar keltirilmaydigan p(x) ko’phad f(x) ko’phad uchun α karrali ko’paytuvchi bo’lsa ‚ uning f^׀(x) hosilasi uchun p(x) ko’phad α-1 karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Isboti. Tarifga ko’ra f(x)=p^α(x)g(x) bo’lib, bunda g(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi. Endi f(x) ning hosilasini olamiz:

Qavslar ichidagi yigindi p(x) ga bo’linmaydi . Haqiqatan, bu yigindini h(x) bilan belgilasak,

Tenglik hosil bo’ladi. va g(h) ayrim –ayrim p(x) ga bo’linmagani uchun ko’phad ko’paytmasi ham p(x) ga bo’linmaydi. O’ng tomondagi yig’indining - qo’shiluvchisi p(x) ga bo’linadi, agar qo’shiluvchisi ham p(x) ga bo’linsa, tenglikning o’ng tomoni , va chap tomoni ham p(x) ga bo’linar edi. Shunday qilib ,h(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi va tenglik teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan f(x) ning bir karralip(x) ko’paytuvchisi hosila uchun ko’paytuvchi emasligini ko’ramiz.