Mavzu: Yuqori darajali algebraik tenglamar reja; Kirish. Asosiy qism

2-misol. P(x) va Q(x) ko’phadlarni x+2 ga bo’linganda qoldiq navbati bilan 3 va -2 bo’lsa, P(x+3) - (x+3)*Q(x+3) ko’phadni (x+5) ga bo’lingandagi qoldiqni toping.
Yechish: Masala shartiga ko’ra, Bezu teoremasiga ko’ra P(-2)=3 va Q(-2)= -2 o’rinli bo’ladi. Bizdan , P(x+3) - (x+3)*Q(x+3) ko’phadni (x+5) ga bo’lingandagi qoldiqni topish talab qilingan. Bu ifodaga x=-5 qiymatni beramiz:

ga ega bo’lamiz.
Javob: r= - 1.
3-misol. P(4x²) ko’phadni (x+2) ga bo’linganda qoldiq 8 ga teng bo’lsa , P(x) ko’phadni x-16 ga bo’lgandagi qoldiqni toping .
Yechish: Bezu teoremasini tadbiq etsak, quyidagilarga ega bo’lamiz;
P(4x²)=(x-2) (x)+8
P(4*2²)=(2-2) (x)+8
P(16)=8
P(x)=(x-16)* (x)+r(x)
P(16)=0* (x)+r(x)
Demak, r=8
Javob: r=8.
4-misol. X⁵- αx+4 ni x+3 ga bo’lishdagi qoldiq r=4 bo’lsa, α ni toping.
Yechish. Bezu teoremasiga ko’ra, (-3)⁵- α·(-3)+4=4, bundan α=81.
Javob: α=81.
5-misol. P(3x-5)=x¹⁰+3x⁷-x+5
P(x) ni (x+2) ga bo’lgandagi qoldiqni toping .
Yechish: Bezu teoremasiga ko’ra
P(x)=(x+2)*Q(x)+r(x)
P(-2)=0*Q(x)+r(x)
P(-2)=r(x)
X=1
P(3*1-5)=1¹⁰+3*1⁷-1+5
P(-2)=1+3-1+5=8
r=8.
6-misol. P(x) ko’phadi x²-x-6 ga bo’linganda qoldiq 2x+5 ga teng bo’lsa,P(x) ko’phadi x+2 ga bo’linganda qoldiq nechaga teng.
Yechish. P(x)=(x²x-6)*Q(x)+2x+5
P(x)=(x+2)* +r(x)
P(-2)=0* +r(x)
P(-2)=r(x)
P(-2)=(4+2-6)*Q(x)+2*(-2)+5
P(-2)=0*Q(x)+1
P(-2)=1 r=1


Gorner sxemasi va uning amaliy tadbiqlari .
Agar x=α son f(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, Bezu teorimasiga asosan f(x) ko’phadning x=α dagi qiymati r=f(α)=0 bo’lar edi. Qoldiqli bo’lish teoremasiga ko’ra f(x)= (x-α) (x)+r tengliklardagi (x) ning koefsentlarini va r qoldiq hadni hissoblashning bir usuli bilan tanishaylik.Buning uchun (x) va r ni nomalum koefsentlar yordamida quyidagicha yozib olamiz:
α₀xⁿ+ α₁x^n-1+…+ α_n-1xⁿ+ α_n=( x-α)(A₀x^n-1+ A₁x^n-2+…+ A_n-2x+ A_n-1)+r.
tengliklarning o’ng tomonidagi qavslarni ochib , ikkita ko’phadning tengligi ta’rifiga asosan , quyidagilarga ega bo’lamiz:
α₀= A₀ , α₁= A₁- α A₀ , α₂= A₂- α A₁, … α_k= A_k- α A_k-1 , … , α_n-1= A_n-1- α A_n-2
α_n=r- α A_n-1.
Bu tengliklardan A_i (i=0,n) larni va r ni quyidagicha aniqlaymiz :
A₀= α₀ , A₁= α₁+ α A₀ , A₂= α₂+ α A₁ , … , A_k= α_k+ α A_k-1 , … , A_n-1= α_n-1+ α A_n-2 ,
r= α_n+ α A_n-1 .
bu hisoblashlarni quyidagi Gorner sxemasi deb ataluvchi sxema yordamida ham bajarish mumkin :

	α0	α1	α2	…	αk	…	αn-1	αn
α	A0	A1	A2	…	Ak	…	An-1	R

Har bir A_k koefsentini topish uchun sxemada uning yuqorisidagi α_k va A_k dan oldin turgan A_k-1 ni α ga ko’paytirib qo’shish kerak.Agar (x) ko’phadni yana biror x-β ikkihadga bolish talab etilsa ,bu sxemani pastga qarab davom ettirish mumkin .Umuman olganda , ko’phadningning karrali ildizlarini topishda ham shu usuldan foydalaniladi.
1-misol . x³+4x²-3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib , x-1 ga bo`lishni bajaramiz .

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak, x³+4x²-3x+5 =(x-1)(x²+5x+2)+7.

Bezu teoremasidan P(x) ko`pxadni αx+b ko`rinishidagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq p ga teng bo`lishi kelib chiqadi .
2-misol . P<sub>3</sub>(x)=x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping .
Y e c h i s h . Qoldiq r=P₃ ga teng .