Mavzu: Yuqori darajali algebraik tenglamar reja; Kirish. Asosiy qism

4.2-teorema . Agar α soni P(x) ko`phadning ildizi bo`lsa , P(x) ko`phad x-α ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi .
I s b o t . Bezu teoremasiga ko`ra , P(x) ni x-α ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq P(α) ga teng , shart bo`yicha esa P(α) =0 . Isbot bajarildi .
Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini p(x) ko`phadni chiziqli ko`paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi .
1-natija . Agar P(x) ko`phad har xil α₁,…, α_n ildizlarga ega bo`lsa , bu (x- α<sub>1</sub>) … (x- α<sub>n</sub>) ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linadi .
2-natija . n- darajali ko`phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo`la olmaydi .
I s b o t . Agar n –darajali P(x) ko`phad n+1 ta har xil α₁, …, α_k+1 ildizlariga ega bo`lganda , u n+1 - darajali (x-α<sub>1</sub>) …( x-α<sub>k+</sub> 1) ko`paytmaga bo`linardi . Lekin bunday bo`lishi mumkin emas .
Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib , Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540-1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning α_i haqiqiy koeffitsiyentlari va α_i ildizlari orasidagi munosobatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz .

1. 
   Α₂x²+ α₁x+ α₀=b(x- α₁)(x- α₂)=bx²-b(α₁ –α₂) x + b α₁ α₂ .
   

Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa , b= α₂ bo`ladi . Natijada ushbu formulalar topiladi :
α₁+ α₂=
2) shu tartibda P₃(x)= α₃x³+ α₂x²+ α₁x+ α₀ uchun :
α₁+ α₂+ α₃=
formulalar topiladi .
1-misol . Berilgan P(x) ni x-2 ga bolganda qoldiq 10 bo’lsa Q(x) ni x-1 ga bo’lganda qoldiq nimaga teng.
Yechish: Masala shartidan Bezu teoremasiga ko’ra P(2)=10 ga teng, bizdan Q(1) ni topish tab qilingan. Shunga ko’ra berilkan ifodaga x=2 qiymatni berish kerak. Demak,




Javob: Q(1)=