Mavzu. Yarim o`qda bеrilgan Shturm-Liuvill chеgaraviy masalasining rеzоlvеntasi uchun intеgral tasvir

Teorema 2. funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:



,

U holda

                                                        (37)

tasvir o`rinlidir, bu yerda

bo`lib, (37) integral absolyut yaqinlashuvchidir.

Isbot. Agar funksiya chekli oraliqdan tashqarida nolga aylanadigan bo`lsa, quyidagi

tenglikda integrallash tartibini uzgartirsak,

        ,

ya’ni

(38)

tasvir hosil bo`ladi. Bu yerda

belgilash kiritilgan. Bu tasvir funksiya finit bo`lmagan holda ham o`rinli bo`lishini limitga o`tish usuli bilan ko`rsatish mumkin. (38) tenglik rezolventa uchun olingan (26) tasvirni quyidagicha qilib yozishga imkon beradi:

.

Oxirgi integral lemma 2 ga asosan absolyut yaqinlashadi. Grin ayniyati va shartga muvofiq quyidagi tenglik bajariladi:



Agar funksiya chekli oraliqdan tashqarida nolga aylanadigan bo`lsa,

(39)

bo`ladi. Ushbu formula umumiy hol uchun ham to`g`ri bo`ladi, chunki

Haqiqatan ham,

Ushbu tenglikdan ixtiyoriy sonlar uchun

tengsizlik o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikda avvalo b ni keyinchalik a ni cheksizlikka intiltirsak isbotlanayotgan fikrning bajarilishi kelib chiqadi. (39) formuladan

va (40)

bog`lanishlar hosil qilinadi.

shartdan

  

integralning absolyut yaqinlashuvchiligi ko`rinadi, bundan (40) tengliklarga asosan

integralning absolyut yaqinlashishi kelib chiqadi. yoyilma haqidagi teoremadan foydalansak, isbot qilinishi zarur bo`lgan fikrning to`g`riligi namoyon bo`ladi. Teorema 2 isbotlandi.