Mavzu. Yarim o`qda bеrilgan Shturm-Liuvill chеgaraviy masalasining rеzоlvеntasi uchun intеgral tasvir

Natija 2. Ixtiyoriy son uchun quyidagi tengsizliklar o`rinlidir:

                                           (18)

Isbot. 1) bo`lsin. (16) tengsizlikda va desak,

                           

hosil bo`ladi. Bundan esa

                     (19)

kelib chiqadi. Ushbu tengsizlik

, va (19) dan quyidagilar hosil qilinadi:

                    .

2) bo`lsin. (14) tenglikdan bo`yicha hosila olsak, ushbu

                    (20)

hosil bo`ladi. Ya’ni bu funksiyaning Fure koeffisientlari ( bo`yicha). Parseval tengligiga ko`ra

                               (21)

ushbu ayniyat o`rinli. Xuddi yuqoridagidek qilib bundan

                                          (22)

bo`lishini keltirib chikarish mumkin. (22) tengsizlikda va desak,

                              

hosil bo`ladi. Bundan xuddi yuqoridagidek qilib (18) tengsizliklar keltirilib chiqariladi. Natija 2 isbotlandi.

Lemma 3. Ixtiyoriy funksiya va ixtiyoriy haqiqiy bo`lmagan son uchun

                                        (23)

tengsizlik o`rinli.

Isbot. ixtiyoriy son bo`lsin. (11) tasvir va Parseval tengligiga asosan



                     (24)

o`rinli. ixtiyoriy sonlar bo`lsin. U holda

    

bo`lgani uchun

                                       (25)

bo`ladi. (25) tengsizlikdan (23) kelib chiqadi. Lemma 3 isbotlandi.