Mavzu. Yarim o`qda bеrilgan Shturm-Liuvill chеgaraviy masalasining rеzоlvеntasi uchun intеgral tasvir

Mavzu. Yarim o`qda bеrilgan Shturm-Liuvill chеgaraviy masalasining rеzоlvеntasi uchun intеgral tasvir.
Bu mavzuda Shturm–Liuvill operatorining rezolventasi o`rganiladi.

Lemma 1. Ushbu

(1)

funksiya

                      (2)

tenglama va

(3)

chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Bu yerda .

Isbot. funksiyaning hosilalarini hisoblaymiz:

,







,       (4)

boshlang`ich shartlarga ko`ra

           

bo`ladi. Demak, (2) tenglik o`rinli ekan. Ushbu

   

tengliklardan (3) chegaraviy shartning bajarilishi kelib chiqadi. Lemma 1 isbotlandi.

Lemma 1 dagi ga yarim o`qda berilgan Shturm-Liuvill operatorining rezolventasi deyiladi va bilan belgilanadi.

Yordamchi

               (5)

    , (6)

(7)

chegaraviy masalaning xos qiymatlarini va xos funksiyalarini orqali belgilaymiz.

oldingi mavzudagi yechim bo`lsin. Chekli oraliqda berilgan (5)+(6)+(7) Shturm–Liuvill operatorining Grin funksiyasi va rezolventasi quyidagi tengliklar bilan aniqlangan edi:

(8)

. (9)

Bundan tashqari rezolventa uchun quyidagicha tasvir olingan edi:

   (10)

bu yerda

         

bo`lib, sonlar normallovchi o`zgarmaslarni bildiradi.

(10) tenglikni quyidagi ko`rinishda

           (11)

yozib olib, Stiltes integrali va funksiya ta’rifiga asosan ushbu

            (12)

tasvirni hosil qilamiz.

Lemma 2. Haqiqiy bo`lmagan ixtiyoriy z son va tayinlangan x uchun quyidagi tengsizlik o`rinlidir:

                   .                   (13)

Isbot. (11) tenglikda desak,

hosil bo`ladi. Rezolventa xossasiga ko`ra

              (14)

tengliklar o`rinli. (14) tenglik funksiyaning (t bo`yicha) Fure koeffisientlarini beryapti, Parseval tengligiga asosan

     .  (15)

(15) tenglikdan ushbu tengsizlik kelib chiqadi. Lemma 2 isbotlandi.

Natija 1. Haqiqiy bo`lmagan ixtiyoriy z son va tayinlangan x uchun quyidagi tengsizlik o`rinlidir:

                          ,                   (16)

bu yerdagi o`zgarmas son K lemma 2 dagi o`zgarmas sonning ayni o`zidir.

Isbot. ixtiyoriy son bo`lsin. Lemma 2 ga ko`ra



tengsizlik bajariladi. Xellining ikkinchi teoremasiga asosan oxirgi tengsizlikda ketma-ketlik bo`yicha limitga o`tish mumkin:

.  (17)

Oxirgi tenglikda a ni cheksizlikga intiltirsak, (16) kelib chiqadi. Natija 1 isbotlandi.