mavzu. Vektorlar va ular ustida amallar

Teorema-3. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog‘lanishli bо‘lishi uchun ularning komplanar bо‘lishi zarur va etarlidir.

Isbot. Oilaga tegishli uchta va vektorlar chiziqli bog‘lanishli bо‘lsa, ularning komplanarligini isbotlaymiz. Chiziqli bog‘lanishlilikning ta’rifiga asosan, kamida bittasi noldan farqli a,b,g sonlar uchun

a

tenglik о‘rinli bо‘ladi. Aniqlik uchun g noldan farqli bо‘lsin, unda avvalgi tenglikdan

= – –

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda λ=a/g, μ= b/g belgilashlarni kiritib

= λ tenglikni hosil qilamiz Agar va vektorlarning boshi bitta umumiy O nuqtaga joylashtirilgan bо‘lsa, oxirgi tenglikdan vektor va vektorlarga qurilgan parallelogarmm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular komplanar vektorlardir.

Va aksincha, va vektorlar komplanar bо‘lsin. Ular chiziqli bog‘liqligini isbotlaymiz.

B erilgan uchta vektorlar orasida kollinear vektorlar bо‘lgan holni chiqarib tashlaymiz. Teorema-1 ga asosan, ushbu vektorlar jufti chiziqli boglik bо‘lar edi va berilagan uchta vektor ham chiziqli boglikligi kelib chiqar edi. Shuning uchun va vektorlar orasida hech bir jufti kollinear bо‘lmagan holni kо‘rib chiqamiz (xususan, ular orasida nol vektor ham yо‘q). Vektorlarni bitta tekislikka kо‘chirib, ularning boshlarini nuqtaga joylashtiramiz (Chizmaga qarang). Keyin vektorning uchi orqali va vektorlarga parallel tо‘gri chiziqlar о‘tkazamiz, vektor yotgan tо‘gri chiziqning vektorga parallel tо‘gri chiziq bilan kesishish nuqtasini deb belgilaymiz va vektor yotgan tо‘gri chizikning vektorga parallel tо‘gri chiziq bilan kesishish nuqtasini deb belgilaymiz. (Ushbu nuqtalarning mavjudligi, va vektorlar kollinear emasligidan kelib chiqadi). Vektorlarni kо‘shishning parallelogramm koidasiga kо‘ra vektor va vektorlar summasiga teng, ya’ni



vektor noldan farkli vektorga kollinear (u bilan bir tо‘gri chiziqda yotuvchi), demak, shunday λ haqiiy son topiladiki,

tenglik о‘rinli bо‘ladi.Xuddi shunga о‘xshash, tenglik ham о‘rinli. Bu tengliklardan

tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni kо‘rinishda yozib olish mumkin. Bu tenglikdagi λ, μ va –1 sonlarining kamida bittasi noldan farqli bо‘lganligi sababli, oxirgi tenglik va vektorlarning chiziqli bog‘lanishligini ifodalaydi. Teorema isbotlandi.