M1-Tekislikdaikkinchi tartibli chiziqlar. Ellips, giperbola, parabola va uning kanonik tenglamasi

M1-Tekislikdaikkinchi tartibli chiziqlar. Ellips, giperbola, parabola va uning kanonik tenglamasi
Parabolaning kanonik tenglamasi

Tekislikda biror dekart koordinatalar sistemasida

(1)
tenglama berilgan bo’lsin. Bu yerda koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi lozim.Bu shartni ko’rinishda yozish mumkin.
Ta’rif-1. Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi
nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.
Misollar.
Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami faqat bitta nuqtadan iborat.
2) Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkita to’g’ri chiziqdan iborat.
3) Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikki qismdan iborat va maktab kursidan ma’lumki, u giperbola deb ataldi.
Ta’rif-2. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida
(2)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u parabola deb ataladi. Tenglamadagi soni parabola parametri deyiladi.
Misol. Siz maktab kursidan tenglama bilan berilgan parabolani yaxshi bilasiz. Bu tenglamani kanonik ko’rinishga keltirish uchun

almashtirish bajaramiz. Natijada tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda .
Mustaqil ish-1.O’quvchiga tanish tenglama bilan berilgan parabolani chizing va tenglamasini kanonik ko’rinishga keltiring.
Biz ikkinchi tenglamani tekshirish yordamida parabolaning xossalarini o’rganamiz va uni chizamiz. Tenglamadan ko’rinib turibdiki, agar koordinatali nuqta parabolga tegishli bo’lsa, nuqta ham parabolaga tegishli bo’ladi. Demak parabola o’qiga nisbatan simmetrik joylashgandir. Bundan tashqari koordinata boshi parabolaga tegishli, manfiy qiymatlarni qabul qilmaganligi uchun parabola o’qining o’ng tomonida joylashgan. Bu mulohazalardan foydalanib biz chizmada parabolani quyidagi ko’rinishda tasvirlashimiz mumkin.

Tekislikda tenglama bilan berilgan to’gri chiziq parabolaning direktisasi , nuqta esa uning fokusi deb ataladi.

Parabola xossalari:
. Parabolaning ixtiyoriy nuqtasidan direktisagacha bo’lgan masofa fokusgacha bo’lgan masofaga tengdir.
Parabola nuqtasidan nuqtagacha bo’lgan masofani bilan, direktisagacha bo’lgan masofani bilan belgilab tenglikni isbotlaymiz.

ifodada tenglikdan foydalansak va munosabatni hisobga
olsak

formulani hosil qilamiz.

Direktrisagacha bo’lgan masofani hisoblash uchun nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa formulasidan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz.
. Parabolaning geometrik aniqlanishi.
Berilgan to’gri chiziq va unda yotmaydigan nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar to’plami paraboladir.

Tekislikda to’g’ri chiziq va unga tegishli bo’lmagan nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani bilan belgilab va nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar ravishda o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi sifatida olib koordinatalar sistemasini kiritamiz. Abssissa o’qining musbat yo’nalishi to’g’ri chiziqdan nuqta tarafga yo’nalgan, koordinata boshini to’g’ri chiziq va nuqta o’rtasiga quyidagi chizmadagi kabi joylashtiramiz. Ordinata o’qi esa to’g’ri chiziqqa paralleldir. Natijada to’g’ri chiziq: tenglamaga, nuqta esa koordinatalarga ega bo’ladi.Tekislikning nuqtasidan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofaning shu

nuqtadan nuqtagacha bo’lgan masofaga tengligidan

tenglamani hosil qilamiz.

y

F

x

Chizma-1.a

Ellips
Ta’rif-3. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta dekart koordinata sistemasida
(3)
ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa, u ellips deb ataladi. Bu erda koeffisientlar munosabatni qanoatlantiradi.
Bu tenglamani o’rganish natijasida ellipsni chizamiz va uning xossalarini keltirib chiqaramiz. Tenglamadan ko’rinib turibdiki o’zgaruvchilar
, tengsizliklarni qanoatlantiradi. Abssissa o’qida yotuvchi nuqtalar ellipsning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi.Bu yerda , bo’lib, soni ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Tenglamadan ko’rinib turibdiki, ellips koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik joylashgan bo’lib, koordinata boshi uning simmetriya markazidir.
Ellips xossalari:

1. 
   Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas va ga tengdir.
   

Bu xossa bevosita hisoblash yordamida tenglikni tekshirish yordamida isbotlanadi.