Yechilishi. Zarralarning radius-vektorlarini

8-masala. ta zarradan iborat sistemaning Lagranj funksiyasini koordinata boshi zarra ustida joylashgan sanoq sistemasida tuzing.

Yechilishi. Zarralarning radius-vektorlarini bilan belgilab yangi vektor kiritaylik . Sistemaning toʻla massasi


boʻlsin va oʻzgaruvchilardan larga oʻtaylik, - inersiya markazining radius-vektori. Inersiya markazi bilan zarrani tutashtiradigan vektor kiritaylik.

U holda chunki , ,

Ushbuning oʻrinliligidan:

Jumladan, bu sistemaning kinetik energiyasi quyidagicha:

.

Bu zarralarning oʻzaro ta’sir potensial energiyasi:

.

Bu yerda - gravitatsion doimiy. Yuqoridagi Lagranj funksiyasidan ta harakat tenglamasi olinadi:

; ,

Ikkinchi tenglama tabiiyki, ta va ularni bir-birlariga qoʻshib chiqsak, hamda

ekanligini hisobga olsak:

Natijada, bularni qaytadan ushbu koʻrinishda yozib olishimiz mumkin:

.

Agar boʻlsa, oxirgi ifodadagi ikkinchi had birinchi hadga nisbatan gʻalayon rolini oʻynaydi. Yuqoridagi formulalarni uch jism masalasiga tadbiq etaylik (1.6-rasm). Koordinata boshini zarrada tanlab olaylik.

(1.12)

,

bu yerda va harakat tenglamalari:

, , .

Koʻpincha uch jism masalasida quyidagi Yakobi koordinatalari keng qoʻllaniladi (1.7-rasm):

,

(1.13)

bu yerda - inersiya markazi radius-vektori, vektor esa, _va zarralarning inersiya markazini zarra bilan biriktiruvchi kesma. Bu oʻzgaruvchilarda Lagranj funksiyasi quyidagi koʻrinishni oladi:

,

,

(1.14)

.
9-masala. Bir jinsli shar bilan zarra oʻrtasidagi oʻzaro ta’sirning potensial energiyasini toping. Bir jinsli ogʻirlik maydoniga oʻtish chegarasini koʻring.

Yechilishi. Massasi M radiusi R ga teng sharning markazidan r masofada turgan massali zarra bilan oʻzaro ta’sir potensial energiyasi (1.12) ga koʻra:

,

Bu yerda , sharning elementar massasi va zarraning radius vektorlari. Sferik koordinatalar boshini shar markazida tanlab olsak:

, .

Bu yerdan shar boʻlsa, va ,

Aks holda va

Shunday qilib, , uchun

(1.15)

Demak, sharning zichligi sferik simmetrik boʻlganda shar tashqarisidagi maydon nuqtaviy zarraning maydonidan farqlanmaydi. Endi shar sirtiga yaqin masofadagi zarra uchun maydonning koʻrinishini qidiraylik (masalan, Yer sirtidagi, , ):

, .