Mavzu: Vektor fazo bazisi va o’lchovi. Vektor fazolar izomorfizmi. Berilgan bazisga ko’ra vektorning koordinatalar qatori. Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari

Mavzu: Vektor fazo bazisi va o’lchovi. Vektor fazolar izomorfizmi.
Berilgan bazisga ko’ra vektorning koordinatalar qatori. Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari.
Aytaylik, V-F= sonlar maydoni ustidagi vektor fazo bo‘lsin. Agar V fazoda vektorlarning shunday (1) chekli sistemasi mavjud bo‘lib, bo‘lsa, u holda V vektor fazoni vektorlarning (1) sistemasidan hosil qilingan yoki vujudga keltirilgan deyiladi.
TA’RIF. Agar fazo vektorlarning chekli sistemasidan hosil qilingan bo‘lsa, uni chekli o‘lchovi deyiladi.
TA’RIF. Chekli o‘lchovli vektor fazoning bazisi deb, shu vektor fazoni vujudga keltirilgan chekli sondagi chiziqli erkli vektorlarning sistemasini aytiladi.
Har qanday chekli o‘lchovli vektor fazoda cheksiz ko‘p bazislar mavjud bo‘ladi.
TA’RIF. Aytaylik V{} bo‘lganda V vektor fazoning o‘lchovi deb, bu fazoning bazisini tashkil etuvchi vektorlar sistemasidagi vektorlarning sonini aytiladi va dim V ko‘rinishda belgilanadi.
TA’RIF. Aytaylik, (2) vektorlar sistemasi V vektor fazoning tayinlangan bazisi bo‘lsin. Agar uchun bo‘lib, ular uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda skalyar vektornitng (2) bazisdagi koordinatalari deyiladi, - m o‘lchovli vektorlar vektorning satr koordinatalari, - simvolni ham m o‘lchovli vektor deb qarab, uni ning (2) bazisdagi ustun koordinatalar deyiladi.
n o‘lchovli vektor fazoda n ta vektorli ixtiyoriy chiziqli bog‘lanmagan vektorlar sistemasi shu fazoda bazis tashkil qiladi.
- sistemaning chiziqli qobig‘i ((2) sistemaga tortilgan chiziqli qobig‘i) bo‘lsa, (2) sistemani bazisi ning bazisi, (2) sistemani rangi esa ning o‘lchovi bo‘ladi.
1-misol. R⁺ - n o‘lchovli vektor fazoda vektorlarning sistemasi Rⁿ ning bazisini tashkil etadi.
Yechish. a) - vektorlarning chiziqli erkli sistemasini tashkil etadi:

b) bo‘lsin, uni

Ikkinchi tomondan chiziqli qobiqning ta’rifga ko‘ra . Bulardan
Umuman bo‘lganda V vektor fazoda cheksiz ko‘p bazislar bo‘lishi mumkin. Masalan bo‘lganda

vektorlar sistemasini Rⁿ ning bazisi bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. 
2-misol. da aniqlangan uzluksiz funksiyalarning to‘plami bo‘lsin. U holda - haqiqiy sonlar maydoni ustida vektor fazo bo‘ladi. Bu fazoni cheksiz o‘lchovli ekanligini ko‘rsataylik.
_Yechish. - vektorlar sistemasi chiziqli erklidir. Demak, da ixtiyoriy sondagi chiziqli erkli vektorlarning sistemasi mavjud, ya’ni dim
3-misol. vektorlar sistemasiga tortilgan chiziqli qobig‘i vektorlar sistemasi hosil qilgan R³ fazo qism fazosi) ning bazisi va o‘lchovini toping.
_Yechish. sistemaning bazisini topamiz.

oxirgidan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan. . Shuning uchun va sistemani bazisi bo‘ladi. Ikkinchi tomondan ta’rifga asosan uning ixtiyoriy vektori vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi. Demak,
va lar L qism fazoning bazisi bo‘ladi.
4-misol. vektorni R³ vektor fazoning , , bazisidagi koordinatalarini toping.
Yechish. vektorlarning tengligidan

. Demak, vektorlarning bazisdagi koordinatalari satr koordinatalari gorizontal vektorni, ustun koordinatalari vertikal vektori tashkil etar ekan.
5-misol. vektorlar sistemasini bazisi va rangini toping.
Yechish. vektorni (-2) ga ko‘paytirib vektorga (-3) ga ko‘paytirib vektorga qo‘shamiz:
 
oxirgidan ko‘rinadiki bundan

ekanligi kelib chiqadi. Tekshirib ko‘rish mumkinki, berilgan sistemaning ixtiyoriy ikkita vektori chiziqli erkli sistemani tashkil qiladi. Demak, berilgan vektorlar sistemasining ixtiyoriy vektori u sistemaning bazisini tashkil qiladi va uning rangi 2 ga teng.

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1. Quyidagi vektorlar sistemasini R³ fazoning bazisi ekanligin isbotlang:

1)
2)
3)
4)
5)