Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

7-teorema (o’zgaruvchi ishorali qator yaqinlashishining yetarlilik alomati). Agar (2.7) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (2.4) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Boshqacha aytilganida absolut yaqinlashuvchi qator oddiy ma’noda ham
yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isboti. (2.6) va (2.7) qatorlar halaridan tuzilgan yordamchi qatorni qaraymiz:
(2.8)
Bunda barcha da bo’lishi ravshan. Teoremaning shartiga ko’ra qator yaqinlashuvchi. U holda musbat hadli qator yaqinlashishining taqqoslash alomatiga ko’ra (2.8) qator yaqinlashadi.
Yaqinlashuvchi (2.7) va (2.8) qatorlardan

qatorni tuzamiz. Qatorlarning xossalariga ko’ra bu qator yaqinlashadi va mos ravishda (2.6) qator yaqinlashadi.
7-teorema va yaqinlashuvchi qatorning xossalaridan absolut yaqinlashuvchi qatorlarning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
Absolut yaqinlashuvchi qator hadlari istalgancha o’rin almashtirilsa ham uning absolut yaqinlashishi va yig’indisi o’zgarmaydi.
Yig’indilari va bo’lgan absolut yaqinlashuvchi qatorlarni hadma-had qo’shish (ayirish) mumkin. Bunda yig’indisi ( ) bo’lgan absolut yaqinlashuvchi qator kelib chiqadi.
Shartli yaqinlashuvchi qatorlar, umuman olganda, bu xossalarga ega bo’lmaydi.
Shartli yaqinlashuvchi qatorlar hadlarini o’rin almashtirish orqali yig’indisi oldindan ma’lum yaqinlashuvchi qatorni yoki uzoqlashuvchi qatorni hosil qilish mumkin (Riman teoremasi).
Shartli yaqinlashuvchi qator hadlarining o’rni almashtirilganida o’zgarishi
mumkinligini quyidagi misol orqali ko’rsatamiz.
Misol. qator shartli yaqinlashadi, chunki Leybnits alomatining har ikkala sharti bajariladi: 1) 2)
Qator hadlarinining o’rinlarini almashtiramiz va quyidagicha guruhlaymiz:

Uni qayta yozib olamiz:

ya’ni hadlari o’rin almashtirilishi natijasida qatorning yig’indisi 2 marta kamaydi.
7-misol. Qatorlarni shartli yoki absolut yaqinlashishga tekshiring:
1) 2)
Yechish. 1) Qator o’zgaruvchi ishorali. ning har qanday qiymatida bo’lgani uchun qator yaqinlashishi mumkin. Bu qator hadlarining absolut qiymatlaridan tashkil topgan qatorni qaraymiz. Bu qatorning hadlari qatorning mos hadlaridan katta bo’lmaydi.
qator Koshining ildiz alomatiga ko’ra yaqinlashadi:

U holda qator yaqinlashadi. Demak, 7-teoramaga ko’ra berilgan
qator absolut yaqinlashadi.
2) Qator ishora almashinuvchi. Bu qator uchun Leybnits alomatining shartlarini tekshiramiz:
1) 2)
Demak, berilgan qator yaqinlashadi.
Bu qator hadlarining absolut qiymatlaridan tashkil topgan qator uzoqlashadi, chunki taqqoslashning limit alomatiga ko’ra va garmonik qator uzoqlashuvchi.
Shunday qilib, berilgan qator shartli yaqinlashadi.