Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

Mavzu: Ishoralari o’zgaruvchi va ishoralari almashinuvchi qatorlar.Leybnis alomati.Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar.
Reja
1.Ishorasi almashinuvchi qatorlar . Leybnits alomati.
2. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar.

Har bir musbat hadidan keyin manfiy had kelgan va har bir manfiy hadidan keyin musbat had kelgan qatorga ishora almashinuvchi qator deyiladi.

Ishora almashinuvchi qatorni
. (2.5)
ko’rinishda yozish mumkin.
(2.5) qator uchun quyidagi ishora almashinuvchi qator yaqinlashishining yetarli alomati (Leybnits tomonidan 1714 yilda I.Bernulliga yuborilgan xatida o’rnatilgan) o’rinli.
6-teorema (Leybnits alomati). Agar:
1) (2.5) qator hadlari absolut qiymatlaridan tashkil topgan ketma-ketlik monoton kamaysa: ;
2) qatorning umumiy hadi nolga intilsa: , u holda (2.5) qator yaqinlashadi.
Isboti. Avval (2.5) qatorning juft indeksli qismiy yig’indilari ketma-ketligi ni qaraymiz:


Teoremaning shartiga ko’ra qavslar ichidagi ifodalar musbat. Shu sababli qismiy yig’indilar ketma-ketligi o’suvchi.
Ikkinchi tomondan ni boshqa ko’rinishda yozish mumkin:

Demak, istalgan uchun , ya’ni ketma-ketlik chegaralangan.
Shunday qilib, qismiy yig’indilar ketma-ketligi o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli limit mavjud va shu bilan birga .
Endi (2.5) qatorning toq indeksli qismiy yig’indilar ketma-ketligi ni qaraymiz. Bunda bo’lishi ravshan.
Bundan
Shunday qilib, juft bo’lganida ham va toq bo’lganida ham .
Demak, (2.5) qator yaqinlashadi va bunda .
Izoh. 6-teoremadan ishora almashinuvchi qator - qoldig’ining moduli tashlab yuboriladigan birinchi had bilan baholanishi kelib chiqadi:
6-misol. Ishora almashinuvchi qatorlarni yaqinlashishga tekshiring:
1) 2) 3)
Yechish. Berilgan qatorlar uchun Leybnits alomati shartlarining bajarilishini tekshiramiz.
1) qator uchun: 1) 2) Bunda Leybnits alomatining har ikkala sharti bajariladi.
Demak, qator yaqinlashadi.
2) qator uchun: 1)
2) Bunda Leybnits alomatining ikkinchi sharti bajarilmaydi.
Demak, qator uzoqlashadi.
3) had uchun bo’ladi, ya’ni larda leybnits alomatining birinchi sharti bajarilmaydi.
Demak, qator uzoqlashadi.
Ham musbat va ham manfiy hadlardan tashkil topgan
(2.6)
qatorga o’zgaruvchi ishorali (ixtiyoriy hadli) qator deyiladi.
Agar (2.6) qator hadlarining absolut qiymatlaridan tashkil topgan
(2.7)
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (2.6) qatorga absolut yaqinlashuvchi qator deyiladi.
Agar (2.6) qator yaqinlashuvchi va (2.7) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, (2.6) qatorga shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi.