Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

3-natija (qator uzoqlashishining yetarli alomati). Agar da qatorning
umumiy hadi nolga intilmasa, u holda qator uzoqlashadi.
6-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator uchun
Demak, qator uzoqlashadi.
Qator yaqinlashishining zaruriy alomati, umuman aytganda, berilgan qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi haqida aniq fikr aytish imkonini bermaydi. Qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini ko’p hollarda etarli alomatlar orqali aniqlash mumkin bo’ladi.
Qator yaqinlashishining yetarli alomatlaridan ayrimlarini musbat hadli qatorlar, ya’ni barcha hadlari musbat bo’lgan qatorlar uchun ko’rib chiqamiz.
Avval quyidagini qayd qilamiz. Musbat hadli qator uchun bo’lganda bo’ladi, ya’ni qatorning qismiy yig’indilari o’suvchi ketma-ketlik hosil qiladi. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin:
1. Qismiy yig’indilar ketma-ketligi chegaralanmagan. Bu holda bo’ladi va natijada qator uzoqlashadi;
2. Qismiy yig’indilar ketma-ketligi chegaralangan. Bunda qismiy yig’indilar ketma-ketligi limitga ega bo’ladi va natijada qator yaqinlashadi.
Shunday qilib, musbat hadli u yoki bu qatorning yaqilashishini isbotlash
uchun, uning qismiy yig’indilari ketma-ketligi chegaralanganligi ko’rsatish kifoya.
Qatorlarning taqqoslash alomatlari
Musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi ko’pincha uni yaqinlashuvchi yoki uoqlashuvchi ekani ma’lum bo’lgan boshqa (“etalon”) qator bilan taqqoslash yo’li bilan aniqlanadi. Bunday taqqoslashlar quyidagi teoremalarga asoslanadi.
1-teorema (taqqoslash alomati).
, ( 2.1)
(2.2)
musbat hadli qatorlar berilgan va ning biror nomeridan boshlab tengsizlik bajarilsin. U holda (2.2) qatorning yaqinlashuvchi bo’lishidan (2.1) qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi va (2.1) qatorning uzoqlashuvchi bo’lishidan (2.2) qatorning uzoqlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
Isboti. (2.1) va (2.2) qatorlarning - qismiy yig’indilari mos ravishda va bo’lsin. U holda tengsizlikdan kelib chiqadi.
(2.2) qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng bo’lsin. U holda bo’ladi. Qator hadlari musbat bo’lgani uchun tengsizlik bajariladi. Bundan tengsizlikka ko’ra kelib chiqadi.
Demak, (2.1) qatorning qismiy yig’indilari ketma-ketligi chegaralangan. Shu sababli (2.1) qator yaqinlashadi. Bunda uning yig’indisi (2.2) qatorning yig’indisidan katta bo’lmaydi.
(2.1) qator uzoqlashuvchi bo’lsin. U holda bo’ladi. Bundan tengsizlikka ko’ra bo’ladi.
Demak, (2.2) qator uzoqlashadi.
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Etalon qator sifatida yaqinlashuvchi qatorni olamiz. Berilgan qatorning hadlari uchun tengsizlik bajariladi.
U holda 1-teoremaga ko’ra berilgan qator yaqinlashadi.