Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

1-natija. Agar (1.1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning istalgan (1.9) qoldig’i ham yaqinlashuvchi bo’ladi va aksincha, agar(1.1) qatorning (1.9) qoldiqi yaqinlashuvchi bo’lsa, qatorning o’zi ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
2-natija. Agar (1.1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, bo’ladi.
Sonli qator yaqinlashishining eng umumiy alomatini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.
1-teorema (Koshi kriteriyasi) qator yaqinlashishi uchun istalgan son uchun shunday nomer topilishi va barcha , larda

bo’lishi zarur va yetarli.
Koshi kriteriyasining tog’riligi yaqinlashuvchi qator va yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi.
4-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. qatorga garmonik qator deyiladi.
Garmonik qatorning va -qismiy yig’indilari ayirmasini qaraymiz:

Tenglikning o’ng qismidagi har bir qo’shiluvchini o’zidan kichik bo’lgan had bilan almashtiamiz:

Bu tengsizlik garmonik qator uchun da Koshi kriteriyasining
bajarilmasligini bildiradi. Demak, garmonik qator uzoqlashadi.
Ixtiyoriy qator uchun -xusisiy yig’indini va uning limitini topish masalasi ko’p hollarda oson yechilmaydi. Shu sababli qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishini aniqlashning bir nechta alomatlari o’rnatilgan. Ulardan birinchisi qator yaqinlashishining zaruriy alomati hisoblanadi.
2-teorema (qator yaqinlashishining zaruriy alomati). Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bo’ladi.
Isboti. qator yaqinlashuvchi bo’lsin. Bunda Koshi kriteriyasi ko’ra da bo’ladi. Bu tengsizlik barcha larda bajariladi. istalgan son bo’lgani uchun tengsizlik bo’lishini bildiradi.
Izoh. shart qator yaqinlashishining zaruriy sharti bo’ladi, ammo u yetarli shart bo’lmaydi, ya’ni bo’lishidan qatormning yaqinlashishi kelib chiqmaydi. Bu jumla shart bajariladigan uzoqlashuvchi qatorlarning (masalan, garmonik qator) mavjud ekanini bildiradi. Shu sababli shart
bajarilgan holda qo’shimcha tekshirish o’tkazilishi kerak.
5-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator uchun
Qatorning umumiy hadida almashtirishlar bajaramiz:

Bundan

. Demak, qator uzoqlashadi.